Spline

Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle.^[1] Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós.^[1] Os demais pontos definem a tangente à curva em seus respectivos nós. Por exemplo, a curva de Bézier definida pelos pontos (A, B, C e D) é delimitada pelos nós A e D e nesses nós, a curva é tangente ao vetores AB e DC respectivamente. Variando as posições dos pontos B e C, a curva apenas varia sua inclinação, mas continua passando pelos pontos A e D.

Spline de Bézier com nós (A,D) e pontos de controle (A,B,C,D).

Os splines podem ser divididos em duas categorias:^[1]

• Splines de interpolação que passam por todos os pontos de controle
• Splines de aproximação que passam perto de todos os pontos de controle

Splines de aproximação

Usualmente, os splines de aproximação são curvas suaves, dado que as splines de interpolação podem ter "lombas" perto dos nós. Na imagem, a curva que passa através de A, B, C e D é um spline interpolador (especificamente, um spline linear) e a curva que passa através de A e D, mas não por B e C, é um spline de aproximação (especificamente, um spline Bézier).

Splines no mundo real

A simplicidade da representação e a facilidade dentro da forma complexa do spline pode ser computadas e fazer com que os splines sejam representações populares para curvas na ciência da computação e engenharia informática, predominantemente em computação gráfica, mas também para outros tipos de interpolação, tal como a suavização de áudio digital.

O termo spline vem de um dispositivo usado pelos construtores de navios para desenhar formas mais suaves.

Definição formal de Splines polinomiais

Uma função ${\displaystyle S}$ é chamada de spline de grau ${\displaystyle k}$ se:

1. O domínio de S é um intervalo [a,b]
2. Há nós (t_i,y_i) tal que a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b e tal que S é um polinómio de grau ${\displaystyle k}$ em cada subintervalo ${\displaystyle [t_{i},t_{i+1}]}$.

No geral, a continuidade da função ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle s}$ pode ser definido pela condição:

${\displaystyle \lim _{x\to s^{+}}f(x)=\lim _{x\to s^{-}}f(x)=f(s)}$

Interpolação de splines

A interpolação de splines inclui:

• Spline linear
• Spline quadrático
• Spline cúbico
  • Spline cúbico natural
  • Spline cúbico apertado
  • Spline cúbico periódico

Ver também

• Algoritmo de Boor, um método efetivo para avaliar uma curva de splines interpoladores.

Referências

1. «Interpolação Spline» (PDF). Instituto de Computação. UFF. 2019. Consultado em 14 de maio de 2020