Teorema de Stewart

Em geometria, o teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um triângulo e o tamanho de uma ceviana do triângulo. Este nome é em honra do matemático escocês Matthew Stewart que publicou o teorema em 1746.^[1]

Teorema

Sendo ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$ os tamanhos dos lados do triângulo. Sendo ${\displaystyle d}$ a ceviana do lado ${\displaystyle a}$. Se a ceviana divide o lado ${\displaystyle a}$ em dois segmentos de tamanho ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, então o teorema de Stewart diz que:

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,}$

Diagram of Stewart's theorem

Prova

O teorema pode ser provado com a aplicação da lei dos cossenos:^[2]

Se θ é o ângulo entre m e d, θ' o ângulo entre n e d. Então θ′ que é o suplemento de θ e cos θ′ = −cos θ. Da lei dos cossenos entre θ e θ′, temos:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

Multiplique a primeira equação por n, e a segunda por m, e elimine o cos θ, assim obtemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}}$

que é a equação que queríamos demonstrar.

O teorema também pode ser provado pelo teorema de Pitágoras. ^[3]

Referências

1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.
3. This is a overview of the proof in Russell.

• Hutton, C.; Gregory, O. (1843). A Course of Mathematics. II. [S.l.]: Longman, Orme & co. p. 219
• Weisstein, Eric W. «Stewart's Theorem». MathWorld (em inglês)
• Russell, John Wellesley (1905). «Chapter 1 §3: Stewart's Theorem». Pure Geometry. [S.l.]: Clarendon Press