![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/EllipticCurveCatalog.svg/langro-640px-EllipticCurveCatalog.svg.png&w=640&q=50)
Curbe eliptice
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, o curbă eliptică este o curbă algebrică diferențiabilă(d), proiectivă(d), de gen unu, pe care se află un punct O specificat. O curbă eliptică este definită peste un corp K și descrie punctele din K2, produsul cartezian al lui K cu el însuși. Dacă corpul are caracteristica diferită de 2 și 3, atunci curba poate fi descrisă ca o curbă algebrică plană(d) care, după o schimbare liniară de variabile, constă din soluțiile (x, y) ale ecuației:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/EllipticCurveCatalog.svg/320px-EllipticCurveCatalog.svg.png)
cu coeficienți a și b din K. Curba trebuie să fie nesingulară, adică să nu aibă puncte de întoarcere sau auto-intersecții. (echivalent cu condiția ) Se înțelege întotdeauna că curba se află în planul proiectiv(d), punctul O fiind unicul punct de la infinit. Multe lucrări surse definesc curba eliptică drept pur și simplu o curbă dată de o ecuație de această formă. (Când corpul coeficienților(d) are caracteristica 2 sau 3, ecuația de mai sus nu este suficient de generală pentru a include toate curbele cubice(d) nesingulare)
O curbă eliptică este o varietate abeliană(d) — adică are o operație de grup definită algebric, în raport cu care este un grup abelian — și O servește drept element neutru.
Dacă y2 = P(x), unde P este orice polinom de grad trei în x cu rădăcini distincte, mulțimea soluțiilor este o curbă plană nesingulară de genul unu, o curbă eliptică. Dacă P are gradul patru și este fără pătrate, această ecuație descrie din nou o curbă plană de genul unu. Totuși, nu are o alegere naturală a elementului neutru. Mai general, orice curbă algebrică de gen unu, de exemplu intersecția a două suprafețe cuadrice(d) încorporate în spațiul proiectiv tridimensional, se numește curbă eliptică, cu condiția să fie echipată cu un punct marcat care să funcționeze drept element neutru.
Folosind teoria funcțiilor eliptice, se poate arăta că curbele eliptice definite peste numerele complexe corespund încastrărilor torului în planul proiectiv complex. Torul este și el un grup abelian, iar această corespondență este și izomorfism de grup(d).
Curbele eliptice sunt deosebit de importante în teoria numerelor și constituie actualmente un domeniu major de cercetare; de exemplu, au fost folosite în demonstrarea de către Andrew Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat(d). Ele își găsesc aplicații și în criptografia cu curbe eliptice(d) (ECC) și la factorizarea numerelor întregi.
O curbă eliptică nu este o elipsă: vezi integrala eliptică pentru originea termenului. Topologic, o curbă eliptică complexă este un tor, în timp ce o elipsă complexă este o sferă.