From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică un singleton,[1] cunoscut și sub numele de mulțime cu un singur element,[2] este o mulțime formată din exact un element. De exemplu mulțimea {nul} este un singleton format din doar elementul nul.
Expresia este utilizată și pentru „1-tuplu” (un șir cu un singur element).
Orice mulțime cu număr cardinal diferit de 0 și 1 admite partiția o reuniune de singletoni distincți, elementele mulțimii luate individual.[necesită citare]
În cadrul sistemului axiomatic Zermelo–Fraenkel, axioma regularității garantează că nicio mulțime nu este un element al ei însăși. Aceasta implică faptul că un singleton este în mod necesar distinct de elementul pe care îl conține,[1] astfel încât 1 și {1} nu sunt același lucru, iar mulțimea vidă este diferită de mulțimea care conține doar mulțimea vidă. O mulțime precum {{1, 2, 3}} este un singleton, deoarece conține un singur element (care în sine este o mulțime care nu este un singleton).
O mulțime este un singleton dacă și numai dacă cardinalitatea sa este 1. În definiția numerelor naturale prin teoria mulțimilor a lui von Neumann, numărul 1 este definit ca singletonul {0}.
În teoria axiomatică a mulțimilor, existența singletoanelor este o consecință a axiomei împerecherii: pentru orice mulțime A axioma aplicată lui A și A afirmă existența lui {A, A}, care este același cu singletonul {A, A} (deoarece conține A și nicio altă mulțime, ca element ).
Dacă A este o mulțime oarecare și S este un singleton, atunci există exact o funcție care aplică fiecare element al lui A la singurul element al lui S. Astfel, fiecare singleton este un obiect terminal în categoria mulțimilor.
Un singleton are proprietatea că fiecare funcție de la el la orice mulțime arbitrară este injectivă. Singura mulțime cu această proprietate care nu este un singleton este mulțimea vidă.
Structurile construite pe singletoane servesc adesea ca obiecte terminale sau obiecte zero ale diferitelor categorii:
Fie S o clasă definită de funcția indicator
Atunci S se numește singleton dacă și numai dacă există y ∈ X astfel încât pentru orice x ∈ X
Următoarea definiție a fost introdusă de Alfred North Whitehead și Bertrand Russell[3]
Simbolul ‘ indică singletonul iar indică clasa obiectelor identice cu adică . Aceasta apare ca definiție în introducere, care, pe alocuri, simplifică argumentul din textul principal, unde apare ca propoziție 51.01.[4] Ulterior propoziția este folosită pentru a defini numărul cardinal 1 ca
Adică 1 este clasa singletoanelor. Aceasta este definiția 52.01.[5]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.