Sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel
sistem axiomatic referitor la teoria mulțimilor / From Wikipedia, the free encyclopedia
În teoria mulțimilor, sistemul axiomatic Zermelo–Fraenkel, numită după matematicienii Ernst Zermelo și Abraham Fraenkel, este un sistem axiomatic care a fost propus la începutul secolului al XX-lea pentru a formula o teorie a mulțimilor liberă de paradoxuri, cum ar fi paradoxul lui Russell. Astăzi, teoria mulțimilor Zermelo–Fraenkel, cu axioma alegerii din punct de vedere istoric controversată (AC), este fundamentarea standard a teoriei axiomatice a mulțimilor și ca atare este fundamentul cel mai comun al matematicii. Teoria mulțimilor Zermelo–Fraenkel, cu axioma alegerii inclusă este notată prescurtat ZFC, unde C înseamnă „choice” (în română alegere),[1] iar ZF se referă la axiomele teoriei mulțimilor Zermelo–Fraenkel, fără axioma alegerii.
Există multe formulări echivalente ale axiomelor din teoria mulțimilor Zermelo–Fraenkel. Majoritatea axiomelor afirmă existența unor mulțimi particulare definite pe baza altor mulțimi. De exemplu, axioma perechilor spune că: date fiind oricare două mulțimi și există o mulțime nouă conținând exact și . Alte axiome descriu proprietățile apartenenței stabilite. Un obiectiv al axiomelor este ca fiecare axiomă să fie adevărată dacă este interpretată ca o afirmație despre colecția tuturor mulțimilor din Universul von Neumann (cunoscută și sub numele de ierarhia cumulativă).
Structura metamatematică a teoriei mulțimilor Zermelo–Fraenkel a fost studiată pe larg. Rezultatele de reper în acest domeniu au stabilit independența logică a axiomei alegerii față de axiomele ZFC rămase (a se vedea Independența de restul teoriei mulțimilor) și independența ipotezei continuumului față de ZFC. Coerența unei teorii precum ZFC nu poate fi dovedită în cadrul teoriei însăși, așa cum arată cea de-a doua teoremă a incompletitudinii a lui Gödel.
Formal, ZFC este o teorie unică în logica de prim ordin. Semnătura are egalitate și o singură relație binară primitivă, apartenență la mulțime, care este notată de obicei . Formula înseamnă că mulțimea este membră a mulțimii (care este de asemenea citit, „ este un element al lui ” sau „ este în ”).