Bitrunchiere

În geometrie o bitrunchiere este o operație pe politopuri regulate. Reprezintă o trunchiere dincolo de rectificare. Laturile inițiale se pierd complet, iar fețele inițiale rămân sub forma de copii mai mici ale lor.

Un cub bitrunchiat este un octaedru trunchiat

La un fagure cubic bitrunchiat celulele cubice devin octaedre trunchiate portocalii, iar vârfurile sunt înlocuite cu octaedre trunchiate albastre

Politopurile regulate bitrunchiate pot fi reprezentate printr-o notație cu simboluri Schläfli extinse t_1,2{p,q,...} sau 2t{p,q,...}.

La poliedrele și pavările regulate

La poliedrele regulate (adică 3-politopuri regulate), o formă bitrunchiată este poliedrul dual trunchiat. De exemplu, un cub bitrunchiat este un octaedru trunchiat.

La 4-politopurile regulate și la faguri

La un 4-politop regulat, o formă bitrunchiată este un operator dual simetric. Un 4-politop bitrunchiat este același cu dualul bitrunchiat și va avea o simetrie dublă dacă 4-politopul inițial este autodual.

Un politop regulat (sau fagure) {p, q, r} va avea celulele {p, q} bitrunchiate la celule {q, p} trunchiate, iar vârfurile sunt înlocuite cu celule trunchiate {q, r}.

4-politopuri/faguri autoduali {p, q, p}

Un rezultat interesant al acestei operații este că 4-politopurile {p, q, p} (și fagurii) autoduali rămân tranzitivi pe celule după bitrunchiere. Există 5 astfel de forme care corespund celor cinci poliedre regulate trunchiate: t{q,p}. Doi sunt faguri pe 3-sferă, unul este un fagure în spațiul euclidian tridimensional și doi sunt faguri în spațiul hiperbolic tridimensional.

Spațiu	4-politop sau fagure	Simbol Schläfli Diagramă Coxeter–Dynkin	Tip celulă	Imagine celulă	Figura vârfului
${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$	5-celule bitrunchiat (10-celule) (4-politop uniform)	t1,2{3,3,3}	Tetraedru trunchiat
	24-celule bitrunchiat (48-celule) (4-politop uniform)	t1,2{3,4,3}	Cub trunchiat
${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$	Fagure cubic bitrunchiat (Fagure convex euclidian uniform)	t1,2{4,3,4}	Octaedru trunchiat
${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$	Fagure icosaedric bitrunchiat (Fagure uniform în spațiul hiperbolic)	t1,2{3,5,3}	Dodecaedru trunchiat
	Fagure dodecaedric de ordinul 5 bitrunchiat (Fagure uniform în spațiul hiperbolic)	t1,2{5,3,5}	Icosaedru trunchiat

Bibliografie

• en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
• en Norman Johnson, Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• en Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)

Legături externe

Portal matematică

• en Eric W. Weisstein, Truncation la MathWorld.

v • d • m Operatori poliedrici
Sămânță	Trunchiere	Rectificare	Bitrunchiere	Dual	Expandare	Omnitrunchiere	Alternări
t0{p,q} {p,q}	t01{p,q} t{p,q}	t1{p,q} r{p,q}	t12{p,q} 2t{p,q}	t2{p,q} 2r{p,q}	t02{p,q} rr{p,q}	t012{p,q} tr{p,q}	ht0{p,q} h{q,p}	ht12{p,q} s{q,p}	ht012{p,q} sr{p,q}