Cosinus

Cosinus (cos) este o funcție trigonometrică, periodică, definită în contextul unui triunghi dreptunghic ca fiind raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.^[1]

Graficul funcției cosinus

Definirea pentru unghiuri mai mari de 180 de grade necesită folosirea unui cerc numit cerc trigonometric.

Derivată și primitive

Derivata funcției cosinus este funcția opusă funcției sinus (cu minus):

${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\sin(x)}$

Primitivele (antiderivatele) sunt:

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sin(x)+C}$

unde C este constanta de integrare.

O primitivă este, considerând o constantă de integrare nedefinită de valoare zero, funcția sinus.

Demonstrație

Pentru obținerea derivatei sunt necesare unele rezultate privind calculul unor limite cu funcțiile sinus și cosinus.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$

Se calculează derivata pe baza definiției limită a raportului.