Produs extern

În algebra liniară, produsul extern,^[1] (sau produsul diadic^[1]) a doi vectori de coordonate este o matrice. Dacă cei doi vectori au dimensiunile n și m, atunci produsul lor exterior este o matrice n × m. Mai general, având în vedere doi tensori (matrici multidimensionale), produsul lor extern este un tensor. Produsul extern al tensorilor este denumit și produsul tensorial^⁠(d) al acestora și poate fi folosit pentru a defini algebra tensorială^⁠(d).

Nu confundați cu Produs exterior.

Produsul extern diferă de:

• produsul scalar (un caz particular al produsului intern, care produce un scalar dintr-o pereche de vectori de coordonate,
• produsul Kronecker, care produce o matrice de blocuri dintr-o pereche de matrici,
• produsul matricial (standard).

Definiție

Fiind dați doi vectori de dimensiunile ${\displaystyle m\times 1}$ și ${\displaystyle n\times 1}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$$ produsul lor extern, notat ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ este matricea ${\displaystyle \mathbf {A} _{m\times n}}$ obținută prin înmulțirea fiecărui element al ${\displaystyle \mathbf {u} }$ cu fiecare element al ${\displaystyle \mathbf {v} }$:^[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$

Sau, în notație indexată:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$

Notând produsul scalar cu ${\displaystyle \,\cdot ,\,}$ dacă se dă un vector ${\displaystyle \mathbf {w} _{n\times 1},}$ atunci ${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}$ Dacă se dă un vector ${\displaystyle \mathbf {x} _{1\times m},}$ atunci ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

Dacă ${\displaystyle \mathbf {u} }$ și ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sunt vectori de aceeași dimensiune mai mare decât 1, atunci ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0\,.}$

Produsul extern ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ este echivalent cu înmulțirea matricilor ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ cu conditia ca ${\displaystyle \mathbf {u} }$ să fie un vector coloană ${\displaystyle m\times 1}$ iar ${\displaystyle \mathbf {v} }$ un vector coloană ${\displaystyle n\times 1}$ (care produc vectorul linie ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$).^[3][4] De exemplu, dacă ${\displaystyle m=4}$ și ${\displaystyle n=3,}$ atunci^[5]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$

Pentru vectori complecși este adesea util să se ia adjuncta lui ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ denumită ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ sau ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$:

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}$

Deosebirea față de produsul intern euclidian

Dacă ${\displaystyle m=n,}$ atunci se poate obține produsul matricial pe altă cale, obținând un scalar (sau o matrice ${\displaystyle 1\times 1}$):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$

care este produsul intern standard pentru spații vectoriale euclidiene,^[4] cunoscut mai bine sub denumirea de produs scalar. Produsul scalar este urma produsului extern.^[6] Spre deosebire de produsul scalar, produsul extern este necomutativ.

Înmulțirea unui vector ${\displaystyle \mathbf {w} }$ cu o matrice ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ poate fi scrisă în termenii produsului intern, folosind relația ${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$.

Produsul extern al tensorilor

Fiind dați doi tensori, ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,}$ cu dimensiunile ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ și ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$, produsul lor extern ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ este un tensor cu dimensiunile ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ și elementele

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$

De exemplu, dacă ${\displaystyle \mathbf {A} }$ este de ordinul 3 cu dimensiunile ${\displaystyle (3,5,7)}$ și ${\displaystyle \mathbf {B} }$ este de ordinul 2 cu dimensiunile ${\displaystyle (10,100),}$ atunci produsul lor extern ${\displaystyle \mathbf {C} }$ este de ordinul 5 cu dimensiunile ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ Dacă ${\displaystyle \mathbf {A} }$ are o componentă A_{[2, 2, 4]} = 11 iar ${\displaystyle \mathbf {B} }$ are o componentă B_{[8, 88]} = 13, atunci componenta ${\displaystyle \mathbf {C} }$ formată din produsul extern este C_{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143.