Trapezoedru trigonal

În geometrie un trapezoedru trigonal^[3] este un romboedru (un poliedru tridimensional cu șase fețe în formă de romb) în care, în plus, toate cele șase fețe sunt congruente. Unele surse îl numesc doar „romboedru”.^[4]

Trapezoedru trigonal
Descriere
Tip	trapezoedru
Fețe	6 romburi
Laturi (muchii)	12
Vârfuri	8
χ	2
Configurația feței	3,3,3,3
Simbol Schläfli	{ } ⨁ {3}[1]
Simbol Conway	dA3[2]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D3d, [2+,6], (2*3), ordin 12
Grup de rotație	D3, [2,3]+, (223), ordin 6
Poliedru dual	antiprismă trigonală
Proprietăți	convex, cu fețe rombice, tranzitiv pe fețe

Geometrie

Șase fețe rombice identice pot construi două configurații de trapezoedre trigonale. Forma ascuțită are câte trei fețe rombice ale căror unghiuri ascuțite se întâlnesc în cele două vârfuri ale axei polare. Forma obtuză are câte trei fețe rombice ale căror unghiuri obtuze se întâlnesc în cele două vârfuri ale axei polare.

Având toate fețele congruente, trapezoedrele trigonale sunt izoedrice, ceea ce înseamnă că au simetrii care aplică oricare față pe oricare altă față.^[4]

Cazuri particulare

Un cub poate fi interpretat ca un caz particular al unui trapezoedru trigonal, cu fețe pătrate în loc de rombice.

Romboedru de aur ascuțit

Romboedru de aur obtuz

Cele două romboedre de aur sunt forma acută și obtuză a trapezoedrului trigonal cu fețe în formă de romb de aur. Copii ale acestora pot fi asamblate pentru a forma alte poliedre convexe cu fețe romb de aur, inclusiv dodecaedrul Bilinski și triacontaedrul rombic.^[5]

Patru romboedre obtuze al căror raport dintre lungimile diagonale ale feței sunt ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ pot fi asamblate pentru a forma un dodecaedru rombic. Acesta poate tesela spațiul sub forma fagurelui trapezoedric trigonal.^[6]

Poliedre înrudite

Trapezoedrele trigonale sunt cazuri particulare de trapezoedre, poliedre cu un număr par de fețe în formă de romboizi, congruente. Când acest număr de fețe este șase, romboizii degenerează în romburi, iar rezultatul este un trapezoedru trigonal. Ca și în cazul romboedrelor în general, trapezoedrele trigonale sunt cazuri particulare de paralelipipede și sunt singurele paralelipipede cu șase fețe congruente. Paralelipipedele sunt zonoedre, iar Evgraf Fiodorov a demonstrat că trapezoedrele trigonale sunt singura familie infinită de zonoedre ale căror fețe sunt toate romburi congruente.^[4]

Poliedrul care apare în gravura Melancolia I de Albrecht Dürer se presupune că ar fi un trapezoedru trigonal trunchiat, un trapezoedru trigonal cu două vârfuri opuse trunchiate, deși forma sa precisă este încă subiect de dezbatere.^[7]