Борновское приближение
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.
Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы на потенциале
действующем на расстоянии
, приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний
, т.е.
. Если же
не мало по сравнению с
, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда
, где
есть дебройлевская длина волны частицы.
Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла ) частицы с изменением импульса
в борновском приближении получается:
где — приведённая масса.
Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:
,
где есть плотность конечных состояний.
Подставляя энергию свободной частицы
, вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн
и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния
, мы немедленно приходим к формуле Борна.
Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:
Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом , имеют вид:
где — функция Бесселя.