Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм (англ. ADM formalism) — разработанная в 1959 году Ричардом Арновиттом^[англ.], Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером гамильтонова формулировка общей теории относительности. Она играет важную роль в квантовой гравитации и численной относительности.

Ричард Арновитт^[англ.], Стенли Дезер и Чарльз Мизнер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation,^[1] в честь 50-летия их основной работы, ноябрь 2009 года.

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» (англ. The Dynamics of General Relativity) был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией Луиса Виттена, Wiley NY (1962); chapter 7, pp. 227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в Эйнштейновском сборнике^[2]. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале General Relativity and Gravitation в серии классических работ по гравитации^[3] Исходные работы авторов выходили в Physical Review.^{[4][5][6][7][8][9][10][11][12]}

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время можно расслоить на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей ${\displaystyle \Sigma _{t}}$, которые нумеруются при помощи временной координаты ${\displaystyle t}$, а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты ${\displaystyle x^{i}}$. Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: метрический тензор на этих гиперповерхностях ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ и сопряжённый с ним тензор канонических импульсов ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$. Из этих переменных выражается гамильтониан, соответствующий уравнениям Эйнштейна, и таким образом, уравнения движения общей теории относительности оказываются записанными в гамильтоновой форме.

Кроме 12 переменных ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ и ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 лагранжевых множителя: функции хода (англ. the lapse function) ${\displaystyle N}$, и функции сдвига — компоненты 3-вектора (англ. shift vector field) ${\displaystyle N_{i}}$. Они описывают, как точки ${\displaystyle x^{i}=const}$ на соседних слоях ${\displaystyle \Sigma _{t},t=const}$ связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора координатной системы для описания пространства-времени.

Вывод

Обозначения

Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться ${\displaystyle g_{ij}}$, а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как ${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$.