Уравнения Гамильтона

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},}$

где точкой над ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где ${\displaystyle H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t)}$ — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, ${\displaystyle t}$ — время^[1], ${\displaystyle q_{i}}$ — (обобщенные) координаты ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$ и ${\displaystyle p_{i}}$ — обобщенные импульсы ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})}$, определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Ньютоновский физический смысл

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан ${\displaystyle H}$ представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle V}$ соответственно:

${\displaystyle H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m}},~V=V(q)=V(x).}$

В частном случае, если ${\displaystyle q=X}$ — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

${\displaystyle X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\dots ,}$

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

${\displaystyle {\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,}$

${\displaystyle {\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,}$

где ${\displaystyle {\vec {X}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$, причём каждое подпространство даёт радиус-вектор соответствующей материальной точки:

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4},X_{5},X_{6}),\;\dots ,}$

а обобщённые импульсы — соответствующие компоненты трёхмерных импульсов этой точки:

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec {p}}_{2}=(P_{4},P_{5},P_{6}),\;\dots }$

Фундаментальная интерпретация

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) ${\displaystyle \omega }$ через волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ для каждой точки пространства^[2]:

${\displaystyle \omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ).}$

В классическом приближении (при больших^[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от ${\displaystyle \mathbf {x} }$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых (${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}}$) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие (${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i}}$) вполне естественно — как изменение (в частности — поворот) волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Вывод уравнений Гамильтона

Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения Гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt}$

независимо по ${\displaystyle q}$ и по ${\displaystyle p}$.

Вывод из лагранжевой механики

Мы можем вывести уравнения Гамильтона, используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

${\displaystyle \mathrm {d} L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

обобщённые импульсы определяются как ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}}$, и уравнения Лагранжа гласят:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},}$

где ${\displaystyle F_{i}}$ — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}-F_{i},}$

и результат подставляется в вариацию лагранжиана

${\displaystyle \mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.}$

Можно записать:

${\displaystyle \mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)-{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

и преобразуется к форме:

${\displaystyle \mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{{\dot {q}}_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.}$

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t,}$

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. В этом случае более общая форма уравнений Гамильтона гласит:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}},}$

где ${\displaystyle A}$, называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle t}$, и ${\displaystyle H}$ — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$, он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. также

• Лагранжева механика
• Классическая механика
• Динамические системы
• Уравнение Гамильтона — Якоби
• Симплектическое пространство
• Симплектическое многообразие