Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия (или нейтральная геометрия) — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики, то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться. Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского^[1][2].

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году^[3]. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского^[4].

Примеры теорем абсолютной геометрии

Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теорем^[5]:

• У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
• Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
• Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
• При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
• Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.
• Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон.
• Сумма углов треугольника не превосходит 180°.

Теоремы, не входящие в абсолютную геометрию

Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта) полна, то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии^[6].

Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию:

• Признаки подобия треугольников^[6].
• Многочисленные эквиваленты V постулата^[7]

Вариации и обобщения

В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида, доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия, в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского)^[8], и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более широкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.