Абу Бакр аль-Караджи

Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн аль-Караджи (или аль-Кархи, перс. ابوبکر محمد بن حسین کرجی‎, англ. Abū Bakr ibn Muhammad ibn al Husayn al-Karajī (or al-Karkhī), 953 – 1029) — аббасидский математик, который первым описал биномиальные коэффициенты и структуру, известную в Европе как треугольник Паскаля, за 600 лет до работы Блеза Паскаля^[3][4][5]. Его работы сыграли большую роль в отделении алгебры от геометрии, что стало важным этапом в её развитии как самостоятельной дисциплины^[6].

Абу Бакр аль-Караджи
перс. بوبکر محمد بن حسن کرجیا‎
Дата рождения	13 апреля 953[1]
Место рождения	предп. Кередж, Аббасидский халифат[1]
Дата смерти	около 1029[2][1]
Страна	Аббасидский халифат
Род деятельности	математик
Медиафайлы на Викискладе

По одной из версий Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн является выходцем из города Карадж, по другой версии он родился в пригороде Багдада, Кархе. В источниках можно встретить его упоминание как аль-Караджи, так и как аль-Кархи. Большую часть жизни учёный прожил в Багдаде, где и написал свои основные работы^[6].

Научные труды

См. также: Алгебра в исламском мире

«Книга об алгебре и алмукабале»

«Книга об алгебре и алмукабале», известная как «al-Fakhri» («Славный»), написанная около 1010 года, содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Аль-Караджи оперирует не только квадратными, но и кубическими корнями, используя формулу для куба суммы и разности. Он даёт правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел. Для суммы квадратов аль-Каражди приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может. Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

Одночлены и многочлены

В этой книге он первым ввёл понятие мономов (одночленов) ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},...}$ и ${\displaystyle 1/x,1/x^{2},1/x^{3},...}$, а также дал правила произведения любых двух таких одночленов. Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Фактически, он почти дал общую формулу для этих произведений ${\displaystyle x^{n}x^{m}=x^{n+m}}$ для всех целых ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$, но не дал определения ${\displaystyle x^{0}=1}$ и ${\displaystyle x^{-n}=1/x^{n}}$^[6]. В дальнейшем эти детали были добавлены его последователем аль-Самуалом (1130—1180)^[7].

После установления правил умножения и деления одночленов аль-Караджи перешел к изучению их сумм. Он разработал правила для сложения, вычитания и умножения таких величин, однако не предоставил общее правило для деления составной величины. Вместо этого были предложены правила только для деления составной величины на одночлен. Кроме того, аль-Караджи сформулировал правило для извлечения квадратного корня из составной величины, которое, несмотря на ограничение лишь положительными коэффициентами, представляет собой значительное достижение^[6].

Математические доказательства

Аль-Караджи также использует в своих доказательствах форму математической индукции, хотя и не даёт строгого изложения принципа. Он доказывает случай для ${\displaystyle n=1}$, затем для ${\displaystyle n=2}$, основываясь на результате для ${\displaystyle n=1}$, и так далее, доходит до ${\displaystyle n=5}$, замечая, что этот процесс можно продолжать бесконечно. Хотя это ещё не полноценная математическая индукция, такой подход является важным шагом к пониманию индуктивных доказательств^[6].

Аль-Караджи использует такую индукцию для биномиальной теоремы, биномиальных коэффициентов и треугольника Паскаля^[6].

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$

Также с помощью неявной математической индукции он предоставил доказательство выражения ${\displaystyle \sum i^{3}=(\sum i)^{2}}$^[6].

Еще одна важная идея, введенная аль-Караджи и продолженная аль-Самуалом и другими, заключалась в использовании индуктивного аргумента для работы с определенными арифметическими последовательностями. Так, аль-Караджи использовал такой аргумент для доказательства формулы суммы целых кубов, которая уже была известна Ариабхате <...> Однако аль-Караджи не утверждал общий результат для произвольного n. Он заявил свою теорему для конкретного числа 10 <...> Его доказательство, тем не менее, явно предназначалось для распространения на любое другое целое число. <...> Аргумент аль-Караджи по существу включает два основных компонента современного доказательства методом индукции, а именно истинность утверждения для ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle (1=1^{3})}$ и вывод истинности для ${\displaystyle n=k}$ из истинности для ${\displaystyle n=k-1}$. Конечно, этот второй компонент не является явным, так как в некотором смысле аргумент аль-Караджи идет в обратном порядке; то есть он начинает с ${\displaystyle n=10}$ и идет вниз до 1, а не поднимается вверх. Тем не менее, его аргумент в аль-Фахри является самым ранним сохранившимся доказательством формулы суммы целых кубов.Виктор Кац, История Математики: Введение^[8]

Кроме того, аль-Караджи доказал формулу суммы ряда из натуральных чисел ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$^[6].

Источники и влияние

Его работа опиралась на утверждения Абу Камиля^[9]. Также он изучал работы Диофанта. Аль-Караджи включил многие из его задач в свою книгу, а также предоставил свои собственные. Однако он не просто копировал работы своего предшественника, но пытался обобщить их и найти универсальные методы решения^[6]. Так, аль-Караджи разработал новые методы решения квадратных уравнений^[10], а также смог показать, что некоторые уравнения более высокой степени можно свести к квадратным уравнениям^[11].

Вторая часть работы содержит 254 задачи на определённые и неопределённые уравнения^[12]. Некоторые из этих задач были повторно использованы Леонардо Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Джероламо Кардано без указания автора^[13][14].

«Книга о нахождении скрытых вод»

Рукопись XVII-го века книги аль-Караджи XI-го века, «О нахождении скрытых вод»

В «Книге о нахождении скрытых вод» аль-Караджи описывает методы рытья акведуков, основываясь на собственном опыте и трудах предшественников. Точная дата написания неизвестна, но считается, что книга была создана после возвращения автора из Багдада в Джибаль, около 1010 года. Несмотря на научную ценность, книга была забыта, так как её читатели зачастую не обладали достаточным для этой работы уровнем научных знаний^[15].

В труде автор упоминает о шарообразности Земли, а также концепции, схожие с законом гравитации и законами равновесия и движения, которые позднее развили Галилео Галилей, Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон. Аль-Караджи рассматривает сферическую форму как условие достижения равновесия. Он полагает, что любое отклонение от этой формы вызывает движение, которое всегда направлено к центру и стремится восстановить сферичность. Поэтому он считает горы и неровности земной поверхности факторами, нарушающими равновесие движения Земли^[16].

Земля имеет сферическую форму, несмотря на наличие гор, равнин, низменностей и возвышенностей. <...> Тяжелые объекты, такие как почва и вода, стремятся к центру Земли, причем чем тяжелее объект, тем сильнее его притяжение к этому центру. Это же правило действует и в отношении зданий и сооружений: находясь выше поверхности земли, они со временем разрушаются. Их разрушение — следствие центростремительного движения и шарообразности Земли.

Оригинальный текст (перс.)

زمین با تمام کوه‌ها و دشت‌ها و پستی‌ها و بلندی‌هایش کروی شکل است. خدا آن را مرکز عالم قرار داده‌است، که تا ابد با حرکت دائمی خود به گرد این مرکز می‌گردد، ولی مرتبتش بسیار اندک است. خدای تبارک و تعالی جهان را میان‌پر آفریده و خلأئی در میان آن نیست و برای هریک از افلاک و ستارگان و آتش و هوا و آب و خاک محلی خاص قرارداده است، که چون از آن جدا شود با حرکت دوباره به این محل بازمی‌گردد به همین جهت است که اجسام سنگین مانند خاک و آب خواستار رسیدن به این مرکزند و هرچه جسم سنگین‌تر باشد این میل به مرکز بیشتر است… و همچنین است حال بناها و مکان‌هایی که از سطح زمین بلندترند که فروافتادن و ویران شدن آن‌ها نتیجه همان مرکزطلبی آن‌ها و کرویت گونه زمین است.

— Аль-Караджи. «Книга о нахождении скрытых вод»

Впервые была опубликована в 1941 году на арабском языке в Исламском университете Хайдарабада. До этого существовало три рукописи, а в 1966 году появился перевод на персидский язык^[15].

«Достаточная книга об арифметике»

В трактате «Достаточная книга об арифметике» аль-Караджи даёт практическое руководство для вычислителей, уделяя особое внимание учению о дробях в его традиционной староарабской форме; десятичная индийская арифметика в этом сочинении не рассматривается. Несколько разделов этого трактата посвящены «исчислению алгебры и алмукабалы», которое ведётся в том же стиле, что и у аль-Хорезми.

В секции «Об измерениях и весах для измерения зданий и сооружений» аль-Караджи определяет точки, прямые, плоскости, объёмные фигуры и углы. Он также даёт правила измерения как плоских, так и объёмных фигур, часто используя в качестве примеров арки; и также даёт методы взвешивания различных веществ.

«Чудесное об арифметике»

Трактат «Чудесное об арифметике» состоит из трёх книг: «Об основных определениях», «О решении уравнений», «Введение в неопределённый анализ». В них, на чисто алгебраической основе, излагаются те вопросы, которые традиционно решались с помощью геометрических построений.

Один из разделов этого трактата он завершил формулировкой правила:

${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {A}}\pm {\sqrt {B}}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {A}}+{\sqrt {A-B}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {A}}-{\sqrt {A-B}}}{2}}}}$

Кроме квадратных корней, их суммы и разности, аль-Караджи также рассмотрел корни произвольных степеней и составленные из них выражения, предлагая читателю самому составлять иррациональности такого вида; более того, он сделал попытку найти уравнение, которому они удовлетворяют. Отмечая этот важнейший результат, немецкий историк математики Пол Люкей пишет: «Если бы у аль-Караджи нашлись последователи, которые продолжали бы работать дальше в том же духе, то кто-либо мог легко придти к мысли заменить в правой части приведенной формулы корни квадратные кубическими. Тогда получилось бы выражение, в основном совпадающее с так называемой формулой Кардано, и путем вычислений, которыми уже владел аль-Караджи, например разложением ${\displaystyle (a+b)^{3}}$, было бы показано, что это выражение есть решение кубического уравнения». Эта идея аль-Караджи получила развитие у европейских алгебраистов, творчество которых базировалось на восточном наследии^[17].

«Книга о сводах зданий»

Также аль-Караджи написал «Книгу о сводах зданий».

Оценки

Историк математики Франц Вёпке высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления»^[18].

См. также

• Математика исламского Средневековья
• Аль-Хорезми
• Самуил Марокканский
• Абу Камил