Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных^[1]. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), его степень равняется нулю, за исключением случая нулевого одночлена, степень которого не определена^[2] (часть источников приписывает нулевому одночлену степень ${\displaystyle -\infty }$)^[3].

Примеры:

${\displaystyle -7}$	${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle c^{3}xy}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 5ax^{3}}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене ${\displaystyle x^{2}}$), подразумевается коэффициент ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, в зависимости от знака перед одночленом^[2].

Не являются одночленами выражения: ${\displaystyle a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.}$

История

Первым ввёл понятие одночленов ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},...}$ и ${\displaystyle 1/x,1/x^{2},1/x^{3},...}$, а также дал правила их произведения, аббасидский математик аль-Караджи (953—1029). Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию^[4]. Его последователь Самуил Марокканский (1130—1180) ввёл определения ${\displaystyle x^{0}=1}$ и ${\displaystyle x^{-n}=1/x^{n}}$, а также описал их арифметику, включая правило умножения одночленов ${\displaystyle x^{n}x^{m}=x^{n+m}}$ для целых ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$^[5].

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных^[1].

Пример: ${\displaystyle 3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.}$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов^[1].

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам^[6].

См. также

• Многочлен