Аньезиана

Обзорная статья: Окружность

Не следует путать с грушевидной квартикой — антигиперболизмом окружности.

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези^[1]) (частный случай — верзие́ра^[2][3][4]) — гиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе^[5][6].

Пять форм аньезианы ${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2}.}$ Из них оранжевая - верзиера, красная — псевдоверзиера

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

${\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}}$

с радиусом ${\displaystyle a}$ и полюсом в начале координат на окружности и прямой ${\displaystyle y=b}$, имеющий следующее уравнение^[5][6]:

${\displaystyle \left(x{\frac {y}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},}$

или

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};}$

или

${\displaystyle y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+x^{2}}}.}$

Полагают, что ${\displaystyle a>0}$: при ${\displaystyle a=0}$ аньезиана вырождается в ось абсцисс^[7][5].

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка^[4][8].

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами^[3][5][9][8]:

• неограниченная;
• имеет одну асимптоту.
• связная;
• имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
• особых точек нет;
• имеет одну ось симметрии.

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы^[10].

Своё название аньезиана получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей частный случай этой кривой — верзиеру — в 1748 году^{[9][11][4][7][12][13]}. Ранее верзиеру изучали Пьер Ферма в 1630 году и Гвидо Гранди в 1703 году^[3].

Определения аньезианы

Определение и уравнение

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези^[1]) — гиперболизм окружности, ограниченный тем, что его полюс расположен на этой окружности, и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе^[5][6]. Эта окружность называется образующей^[7], или производящей^[8][14]. Точка образующей окружности, диаметрально противоположная полюсу, называется вершиной аньезианы^[11].

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

${\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}}$

с радиусом ${\displaystyle a}$ ограниченный тем, что его полюс расположен на окружности, куда удобно поместить также и начало координат, и произвольной прямой ${\displaystyle y=b}$. Такой гиперболизм окружности записывается уравнением, полученным из уравнения окружности^[5][6]:

${\displaystyle \left(x{\frac {y}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},}$

или

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};}$

или

${\displaystyle y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+x^{2}}}.}$

Полагают, что ${\displaystyle a>0}$, поскольку при ${\displaystyle a=0}$ аньезиана вырождается в прямую ${\displaystyle y=0}$ — ось абсцисс^[7][5].

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка^[4][8].

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами^[3][5][9][8]:

• неограниченная;
• имеет одну асимптоту.
• связная;
• имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
• особых точек нет;
• имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение аньезианы в декартовой системе координат

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};}$

(с площадью ${\displaystyle S=2\pi ab}$ области, ограниченной кривой и асимптотой ${\displaystyle y=0}$^[5]) может быть записано по-другому:

• в сокращённой форме^[5][15]:

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=db^{2};}$

где ${\displaystyle d=2a}$ — диаметр базовой окружности гиперболизма (и площадью ${\displaystyle S=\pi db}$^[5]);

• с изменённым параметром ${\displaystyle 2a={\frac {r^{2}}{b}}}$ (и площадью ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$)^[15]:

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=br^{2}.}$

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют вертикальную ось симметрии (совпадающую с оью ординат) и асимптоту ${\displaystyle y=0}$, расположенную снизу от кривой. Но асимптоту можно расположить на графике и сверху, записав уравнение аньезианы в следующей форме:

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=-2ab^{2}.}$

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью ординат. У следующих уравнений ось симметрии аньезианы совпадает с осью абсцисс^[5]:

• асимптота ${\displaystyle x=0}$ расположена слева от кривой:

${\displaystyle x(b^{2}+y^{2})=2ab^{2};}$

• асимптота ${\displaystyle x=0}$ расположена справа от кривой:

${\displaystyle x(b^{2}+y^{2})=-2ab^{2}.}$

Частные случаи

Обзорная статья: Верзиера

Верзиера (локон Аньези) — частный случай аньезианы при ${\displaystyle b=2a}$ со следующим уравнением^{[3][4][16][9][7][13][17][14][18][19]}:

${\displaystyle y(4a^{2}+x^{2})=8a^{3}\,\,(y(d^{2}+x^{2})=d^{3},\,d=2a).}$

Псевдоверзиера — частный случай аньезианы при ${\displaystyle b=a}$ со следующим уравнением^[20][9]:

${\displaystyle y(a^{2}+x^{2})=2a^{3}\,\,(y(d^{2}+4x^{2})=d^{3},\,d=2a).}$

Поскольку уравнение верзиеры можно записать в виде

${\displaystyle y(d^{2}+x^{2})=d^{3},}$

а уравнение псевдоверзиеры в виде

${\displaystyle y(a^{2}+x^{2})=2a^{3},}$

то псевдоверзиера получается удвоением ординат верзиеры, если ${\displaystyle d=a,\,}$ другими словами, если диаметр образующей окружности верзиеры равен радиусу образующей окружности псевдоверзиеры^[8].

Вывод уравнения и геометрическое построение

Получить аньезиану ${\displaystyle F(X,Y)}$ путём гиперболизма ${\displaystyle X={\frac {bx}{y}},}$ ${\displaystyle Y=y}$ базовой окружности ${\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}}$ радиуса ${\displaystyle a}$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой ${\displaystyle x=b}$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат^[3][21] можно двумя способами:

• исходя из уравнения образующей окружности:

${\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle \left({\frac {Xy}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle Y(X^{2}+b^{2})=2ab^{2};}$

• исходя из преобразования гиперболизма:

${\displaystyle X={\frac {bx}{y}},}$

${\displaystyle X^{2}={\frac {b^{2}}{y^{2}}}x^{2},}$

${\displaystyle y^{2}X^{2}=b^{2}(a^{2}-(y-a)^{2}),}$

${\displaystyle Y(X^{2}+b^{2})=2ab^{2}.}$

Получаем, что преобразование гиперболизма окружности:

• сохраняет ординату ${\displaystyle y;}$
• изменяет абсциссу ${\displaystyle x}$ пропорционально абсциссе и обратно пропорционально ординате с постоянным коэффициентом ${\displaystyle b.}$

Геометрическое построение красной точки аньезианы

Выясним роль образующих окружности и прямой, построив аньезиану геометрически (см. рисунок справа)^[2][21]:

• выберем внутри диаметра образующей окружности произвольную точку с ординатой ${\displaystyle y''}$, которая будет также и ординатой аньезианы;
• проведём прямую ${\displaystyle y=y''}$, которая пересечётся с образующей окружностью в точке ${\displaystyle P''=(x'',\,y''),\,}$ на которой будет расположена точка аньезианы;
• проведём образующую прямую ${\displaystyle y=b}$;
• проведём прямую ${\displaystyle OP''}$ через начало координат, которая пересечётся с образующей прямой ${\displaystyle y=b}$ в точке ${\displaystyle P'=(x',\,y')}$;
• проведём прямую ${\displaystyle x=x'}$через точку ${\displaystyle P'}$, которая пересечётся с прямой ${\displaystyle y=y''}$ в точке ${\displaystyle P}$ — точке аньезианы.

Так как полюс ${\displaystyle O}$ находится на окружности, то иногда при построении аньезианы вместо окружности используют её точку ${\displaystyle D}$, диаметрально противоположную полюсу. При этом точка ${\displaystyle P''}$ есть основание перпендикуляра, опущенного из точки ${\displaystyle D}$ на произвольную прямую, проходящую через полюс (см. рисунок справа)^[6].

Получим уравнение аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения^[17]:

• пусть уравнение прямой ${\displaystyle (O,\,P'')}$ есть

${\displaystyle y=mx}$,

где ${\displaystyle m}$ — некоторый угловой коэффициент;

• тогда декартовы координаты точки ${\displaystyle P''}$, лежащей на окружности, будут

${\displaystyle P''={\frac {2am}{1+m^{2}}}(1,\,m),}$

а точки ${\displaystyle P'}$ —

${\displaystyle P'=b\left({\frac {1}{m}},\,1\right);}$

• наконец, координаты точки ${\displaystyle P}$ получаются

${\displaystyle P=\left({\frac {b}{m}},\,{\frac {2am^{2}}{1+m^{2}}}\right),}$

откуда уравнение аньезианы есть

${\displaystyle y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}.}$

Другой способ получения уравнения аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения^[19]:

• имеет место пропорция

${\displaystyle {\frac {y''}{y''P''}}={\frac {b}{x''}},}$

• имеет место соотношение

${\displaystyle y''P''={\sqrt {y''(2a-y'')}},}$

• тогда

${\displaystyle {\frac {y''}{\sqrt {y''(2a-y'')}}}={\frac {b}{x''}},}$

то есть

${\displaystyle y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}.}$

Из подобных треугольников 0yP и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования гиперболизма, которое зависит только от образующей прямой ${\displaystyle x=b}$ и не зависит от образующей кривой^[10]:

${\displaystyle {\frac {X}{x''}}={\frac {b}{y''}},}$ ${\displaystyle Y=y'',}$

${\displaystyle X={\frac {bx}{y}},}$ ${\displaystyle Y=y.}$

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы^[10].

Уравнение в других координатных системах

Для перевода уравнения кривой из декартовой ${\displaystyle (x,\,y)}$ в полярную систему координат ${\displaystyle (r,\,\varphi )}$ (и обратно) используют соотношения

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,}$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},}$

поэтому уравнение аньезианы будет следующим^[22]:

${\displaystyle y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2},}$

${\displaystyle r\sin \varphi (r^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2})=2ab^{2},}$

или

${\displaystyle r^{3}\sin ^{3}\varphi =r\sin \varphi (r^{2}+b^{2})-2ab^{2}.}$

В параметрическом виде уравнение аньезианы на вещественной декартовой плоскости

${\displaystyle y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}}$

может быть таким^[3][23]:

${\displaystyle x=b\operatorname {tg} t,}$

${\displaystyle y=2a\cos ^{2}t,}$

где ${\displaystyle t=\angle DOP'',\,}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {\pi }{2}},}$

или таким^[8]:

${\displaystyle x=t,}$

${\displaystyle y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+t^{2}}},}$

где ${\displaystyle -\infty \leqslant t\leqslant \infty ,}$

или таким^[18]:

${\displaystyle x=b\operatorname {ctg} t,}$

${\displaystyle y=a(1-\cos {2t}),}$

где ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant \pi ,}$

или таким^[18]:

${\displaystyle x=bt,}$

${\displaystyle y={\frac {2a}{1+t^{2}}},}$

где ${\displaystyle -\infty \leqslant t\leqslant \infty .}$

Из декартовых параметрических уравнений

${\displaystyle x=b\operatorname {tg} t,}$

${\displaystyle y=2a\cos ^{2}t}$

можно получить в параметрическом виде уравнение аньезианы в полярных координатах^[23]:

${\displaystyle r={\sqrt {b^{2}\operatorname {tg} ^{2}t+4a^{2}\cos ^{4}t}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {2a\cos ^{3}t}{b\sin t}}.}$

Виды аньезиан

В этом разделе аньезианы определяются уравнением

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2}.}$

Точки перегиба и максимум

Отмечены точки перегиба и общие полюс в начале координат и вершина

Вычислим вторую производную функции, задающей аньезиану:

${\displaystyle y={\frac {2ab^{2}}{x^{2}+b^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {4ab^{2}x}{(x^{2}+b^{2})^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=-{\frac {4ab^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {16ab^{2}x^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}=}$

${\displaystyle =4ab^{2}{\frac {3x^{2}-b^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}.}$

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующего уравнения:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=4ab^{2}{\frac {3x^{2}-b^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}=0.}$

Получаем следующие точки перегиба аньезианы^{[23][4][5][24][8][14][18]} (см. рисунок справа):

${\displaystyle \left({\frac {\pm b}{\sqrt {3}}},\,{\frac {3a}{2}}\right),}$

лежащие на прямой ${\displaystyle y={\frac {3a}{2}}.}$

Точки экстремума удовлетворяют уравнению

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {4ab^{2}x}{(x^{2}+b^{2})^{2}}}=0,}$

поэтому аньезиана имеет единственный максимум в точке ${\displaystyle (0,\,2a)}$ на образующей окружности — вершину^[23][4][5].

Пересечение с образующей окружностью

Отмечены точки пересечения аньезиан с образующей окружностью

Аньезиана

${\displaystyle y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};}$

всегда пересекается с образующей окружностью

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

в точке вершины ${\displaystyle (0,\,2a),}$ и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения образующей прямой с образующей окружностью.

Найдём эти две точки. Для этого уравнение аньезианы

${\displaystyle x^{2}=b^{2}{\frac {2a-y}{y}}}$

подставим в уравнение образующей окружности

${\displaystyle x^{2}=y(2a-y),}$

получим:

${\displaystyle b^{2}{\frac {2a-y}{y}}=y(2a-y),}$

${\displaystyle (2a-y)(b^{2}-y^{2})=0.}$

Итак, две искомые точки задаются уравнением

${\displaystyle b^{2}-y^{2}=0}$

при условии

${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant 2a,}$

то есть это точки

${\displaystyle (\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b).}$

В итоге аньезианы по точкам пересечения с образующей окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

• при ${\displaystyle 0<b<2a}$ имеем три точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0),}$ ${\displaystyle (2a,\,0)}$ и ${\displaystyle (\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b);}$
• для пограничной верзиеры с ${\displaystyle b=2a}$ две предыдущие точки пересечения ${\displaystyle (\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b)}$ сливаются с «тройной» точкой ${\displaystyle (0,\,2a);}$
• при ${\displaystyle b>2a}$ имеем одну обычную точку пересечения ${\displaystyle (0,\,2a).}$