Верзиера

Обзорная статья: Окружность

Верзие́ра (иногда ло́кон Анье́зи) (англ. witch of Agnesi — ведьма Аньези^[1][2][3]; англ. versiera — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек ${\displaystyle M}$, для которых выполняется соотношение ${\displaystyle \textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}}$, где ${\displaystyle OA}$ — диаметр окружности, ${\displaystyle BC}$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная ${\displaystyle OA}$^[4]. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую^{[1][4][5][6][7][8][9][10][11]}.

Верзиера

Устаревший термин верзье́ра Анье́зи^[4][12].

Обобщения верзиеры:

• аньезиана — прямая ${\displaystyle AL}$ занимает произвольное положение, перпендикулярное ${\displaystyle OA}$^[13][14];
• агвинея Ньютона — не только прямая ${\displaystyle AL}$, но и полюс ${\displaystyle O}$ занимает произвольное положение на ${\displaystyle OA}$^[8][15].

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус^[16][17].

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)^[18]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi^[3].

Синонимы

В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры.

• Наиболее известный синоним — локон Аньези (англ. Agnesi curl)^{[1][2][6][7][8][9][10][11][16]}. Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано^[16].
• Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (англ. cubic of Agnesi)^[2].
• Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (англ. bell curve of Cauchy)^[2].
• Устаревшие названия:

• верзьера Аньези^[4][12];
• аньезера ^[19];
• версьера ^[19].

Уравнения

${\displaystyle O=(0,\,0),\,}$ ${\displaystyle A=(0,\,a).}$

• В прямоугольной системе координат^[2][20]:

${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.}$

Вывод^[2][20]

Координаты точки ${\displaystyle M}$, лежащей на верзиере — это ${\displaystyle x=BM,\,}$ ${\displaystyle y=OB.\,}$ Далее, ${\displaystyle OA=a}$ и по определению строим пропорцию

${\displaystyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}.}$

Отсюда

${\displaystyle BC={\frac {xy}{a}}.}$

С другой стороны, ${\displaystyle BC}$ может быть найден из уравнения окружности

${\displaystyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}.}$

Нам известен ${\displaystyle y=OB}$, значит, выражаем ${\displaystyle x^{2}:}$

${\displaystyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.}$

Приравниваем оба выражения для ${\displaystyle BC:}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.}$

Возводим в квадрат, переносим и выносим ${\displaystyle y^{2}}$ за скобки:

${\displaystyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay.}$

Выражаем y (y = 0 не подходит по определению):

${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.}$

Если ${\displaystyle a}$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}.}$

• Параметрическое уравнение^[2][21]:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi ,\\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}},}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OC,\,}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant \varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.}$

Вывод^[21]

Координаты точки ${\displaystyle M}$ однозначно определяются углом ${\displaystyle \varphi }$ между ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$. Если ${\displaystyle OB=y}$, а ${\displaystyle BM=x}$, то по определению верзиеры можно составить пропорцию

${\displaystyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}.}$

${\displaystyle OA}$ по предположению равен ${\displaystyle a}$. Из треугольника ${\displaystyle OBC}$: ${\displaystyle BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi }$, значит,

${\displaystyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }},}$

отсюда ${\displaystyle x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi }$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}.}$

${\displaystyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}.}$

Используя тождество, получаем

${\displaystyle y=a\cos ^{2}\varphi .}$

• В полярной системе уравнение верзиеры достаточно сложное, чтобы найти его, необходимо решить кубическое уравнение^[22]:

${\displaystyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }},}$

${\displaystyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0.}$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

Свойства верзиеры^{[2][14][9][7][15]}:

• верзиера — кривая третьего порядка;
• диаметр ${\displaystyle OA}$ — единственная ось симметрии кривой;
• кривая имеет один максимум ${\displaystyle A(0;a)}$ и две точки перегиба ${\displaystyle P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}},\,{\frac {3a}{4}}\right);}$
• в окрестности вершины ${\displaystyle A}$ верзиера приближается к окружности диаметра ${\displaystyle OA}$. В точке ${\displaystyle A}$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle R_{A}={\frac {a}{2}};}$
• площадь под графиком ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему ${\displaystyle \mathbb {R}$ ;}
• объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси ${\displaystyle OX}$) ${\displaystyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}.}$

Построение

Построение верзиеры

Строится окружность диаметра ${\displaystyle a}$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, параллельная касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра, опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа)^[1][20].

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзиерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.^[23]