Апериодическое звено

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

${\displaystyle a_{1}{\dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)}$.

К стандартному виду приводится делением на ${\displaystyle a_{0}}$ правой и левой части уравнения:

${\displaystyle T{\dot {y}}(t)+y(t)=kx(t)}$,

где:

• ${\displaystyle y(t)}$ — выходная величина;
• ${\displaystyle x(t)}$ — входная величина;
• ${\displaystyle k={\frac {b_{0}}{a_{0}}}}$ — коэффициент усиления звена;
• ${\displaystyle T={\frac {a_{1}}{a_{0}}}}$ — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

${\displaystyle h(t)=k(1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}})}$

Весовая функция:

${\displaystyle w(t)={\frac {k}{T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}}}$

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

${\displaystyle TsY(s)+Y(s)=kX(s)}$,

АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

${\displaystyle Y(s)[Ts+1]=X(s)k}$.

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {k}{Ts+1}}}$

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо ${\displaystyle s}$ комплексной переменой ${\displaystyle j\omega }$.

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число ${\displaystyle (1-j\omega T)}$:

${\displaystyle W(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}\cdot {\frac {1-j\omega T}{1-j\omega T}}={\frac {k-j\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}-j{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {Re} \left\{W(j\omega )\right\}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \left\{W(j\omega )\right\}=-{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

${\displaystyle W(s)={\frac {2}{0.1s+1}}}$

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот ${\displaystyle \omega <{\frac {1}{T}}}$ проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена ${\displaystyle k}$. Колебания частот ${\displaystyle \omega >{\frac {1}{T}}}$ проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени ${\displaystyle T}$, а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени ${\displaystyle T}$, тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.^[1]

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.^[2]

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
${\displaystyle T_{2}^{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+T_{1}{\frac {dx_{2}}{dt}}+x_{2}=kx_{1}}$,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
${\displaystyle W(s)={\frac {k}{T_{2}^{2}s^{2}+T_{1}s+1}}}$

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.