Аппроксимация Паде

Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots }$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ и получить аппроксимант

${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{1+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.}$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года^[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение

Пусть имеется разложение функции ${\displaystyle f(z)}$ в степенной ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},}$

где ${\displaystyle c_{i}}$ — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции ${\displaystyle f(z)}$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет ${\displaystyle L+1}$ коэффициентов в числителе и ${\displaystyle M+1}$ — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя^{[источник не указан 1272 дня]}.

Таблица Паде

Основная статья: Таблица Паде

Обобщения

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье