Рациональная функция

Рациона́льная фу́нкция (англ. Rational function), или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение➤, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Пример рациональной функции от одной переменной: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Формальное определение

Рациональная функция^[1][2][3], или дробно-рациональная функция^[1][4], или рациональная дробь^[4] — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),}$

где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {C} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle R(u)}$ — рациональное выражение от ${\displaystyle u}$. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)^[5].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$:

${\displaystyle R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},}$

где ${\displaystyle Q(u)\not \equiv 0.}$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$:

${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$^[5][3].

Частные случаи

• Целая рациональная функция — функция вида

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},}$

где переменная ${\displaystyle x}$ действительна.

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

• Преобразование Кэли

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right),}$

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским^[6].

Обобщения

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

${\displaystyle \mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},}$

где ${\displaystyle Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0}$^[5].

• Абстрактные рациональные функции

${\displaystyle R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_{2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},}$

где ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}}$ — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}}$ — числовые коэффициенты^[5].

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем^[4].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике^[4].

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$, причём ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты, то ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$^[7].

1. Известно, что многочлены ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$, что

${\displaystyle f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.}$

2. Умножим это равенство на ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle [f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).}$

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на ${\displaystyle \varphi (x)}$, следовательно, ${\displaystyle g(x)}$ также делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$.

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя^[4].

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

то есть

${\displaystyle f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).}$

то:

• из взаимной простоты ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следует, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ делится на ${\displaystyle f(x)}$;
• из взаимной простоты ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ следует, что ${\displaystyle f(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$.

В итоге получаем, что ${\displaystyle f(x)=c\varphi (x).}$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

${\displaystyle c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),}$

или

${\displaystyle g(x)=c\psi (x).}$

Итак, получили, что

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.}$

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби^[4].

Доказательство

Докажем последнее утверждение^[4].

1. Для любой рациональной дроби ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$, поделив числитель на знаменатель, получим:

${\displaystyle f(x)=g(x)q(x)+r(x),}$

причём степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x).}$ Поделим обе части равенства на ${\displaystyle g(x)}$, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}.}$

2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

где также степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)(x)}$, то произведём вычитание:

${\displaystyle q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.}$

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)}$, а степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x)}$, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда ${\displaystyle q(x)-q'(x)=0}$ и

${\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.}$

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ простейшая, если её знаменатель ${\displaystyle g(x)}$ представляет собой степень неприводимого многочлена ${\displaystyle p(x)}$:

${\displaystyle g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,}$

а степень числителя ${\displaystyle f(x)}$ меньше степени ${\displaystyle p(x)}$. Существуют две теоремы^[4].

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрировании^[8];
• при разложении в ряд Тейлора^[9];
• при разложении в ряд Лорана^[10];
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби^[11].

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ где^[4]:

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,}$

${\displaystyle g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.}$

Решение. 1. Легко проверить, что

${\displaystyle g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),}$

причём ${\displaystyle x+2,}$ ${\displaystyle x-1,}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.}$

Осталось найти числа ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E.}$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=}$

${\displaystyle =A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +B(x+2)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +Dx(x+2)(x-1)^{2}+}$

${\displaystyle +E(x+2)(x-1)^{2}.}$

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E,}$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве ${\displaystyle x=-2,}$ получаем ${\displaystyle 45A=135,}$ откуда ${\displaystyle A=3.}$ Полагая ${\displaystyle x=1,}$ получаем ${\displaystyle 6B=6,}$ то есть ${\displaystyle B=1.}$ Полагая независимо ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=-1,}$ получаем систему

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.}$

Отсюда ${\displaystyle D=1.}$ Положим ${\displaystyle x=2,}$ получаем ${\displaystyle 20C+4E=-52.}$ Возникает система

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.}$

откуда ${\displaystyle C=-2,}$ ${\displaystyle E=-3.}$ Таким образом,

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.}$

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ (${\displaystyle a}$ — вещественный корень ${\displaystyle Q(x)}$) либо ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}$ (где ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ не имеет действительных корней), причём степени ${\displaystyle k}$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене ${\displaystyle Q(x)}$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским^[12].

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций