Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Арифметико-геометрическая прогрессия

последовательность чисел u_n, задаваемая рекуррентным соотношением u_{n+1}=a u_n+b Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел , задаваемая рекуррентным соотношением , где и  — константы[1]. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при ) и геометрическая прогрессия (при ).

Remove ads

Примеры

  1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: , т. е. .
  2. Убывающая последовательность: , т. е. .
  3. Возрастающая последовательность: , т. е. .
Remove ads

Формула для общего члена

Суммиров вкратце
Перспектива

Рассмотрим исходное соотношение: при

Пусть в этом соотношении и . Прибавив к обеим частям выражение , получаем

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

Remove ads

Свойства

  • Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:
  • Прогрессия тогда и только тогда стационарна, когда , причём и .
  • Разность арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле
  • Последовательность является геометрической прогрессией с тем же знаменателем .
  • Знаменатель находится по формуле:
Следствие 1. Формула, связывающая любые три последовательных члена через разность:
Следствие 2. Формула, связывающая любые три последовательных члена через знаменатель:

Теорема [о связи членов арифметико-геометрической прогрессии с её характеристиками]

Обобщённая теорема

Если , то выполняется равенство

  • Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:
  • Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.

Тождество арифметико-геометрической прогрессии

Пусть — соответственно -й, -й, -й члены арифметико-геометрической прогрессии со знаменателем , где . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметико-геометрической прогрессии, называемое тождеством арифметико-геометрической прогрессии:

Remove ads

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads