Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Арифметико-геометрическая прогрессия
последовательность чисел u_n, задаваемая рекуррентным соотношением u_{n+1}=a u_n+b Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел , задаваемая рекуррентным соотношением , где и — константы[1]. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при ) и геометрическая прогрессия (при ).
Remove ads
- Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: , т. е. .
- Убывающая последовательность: , т. е. .
- Возрастающая последовательность: , т. е. .
Remove ads
Формула для общего члена
Суммиров вкратце
Перспектива
Рассмотрим исходное соотношение: при
Пусть в этом соотношении и . Прибавив к обеим частям выражение , получаем
Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:
Эвристическое доказательство формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии
По определению Вместо и подставим . Тогда Рассмотрим . По методу введения новой переменной обозначим и и получим рекуррентную формулу для геометрической прогрессии: Напишем формулу общего члена геометрической прогрессии: Учитывая, что , запишем эквивалентную формулу: Стало быть,
Значит, Наконец, получаем искомую формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии: ■
Случай 1
. При имеем . Это рекуррентная формула, задающая арифметическую прогрессию. Случай 2
. Если , тогда характеристическое уравнение примет вид , откуда .Значит,
Remove ads
Свойства
- Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:
- Прогрессия тогда и только тогда стационарна, когда , причём и .
- Разность арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле
- Последовательность является геометрической прогрессией с тем же знаменателем .
- Знаменатель находится по формуле:
Следствие 1. Формула, связывающая любые три последовательных члена через разность:
Следствие 2. Формула, связывающая любые три последовательных члена через знаменатель:
Теорема [о связи членов арифметико-геометрической прогрессии с её характеристиками]
Обобщённая теорема
Если , то выполняется равенство
- Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:
- Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.
Тождество арифметико-геометрической прогрессии
Пусть — соответственно -й, -й, -й члены арифметико-геометрической прогрессии со знаменателем , где . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметико-геометрической прогрессии, называемое тождеством арифметико-геометрической прогрессии:
Remove ads
Примечания
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads