Геометрическая прогрессия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия (иногда также кра́тная прогрессия) — последовательность чисел ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle b_{3}}$, ${\displaystyle \ldots }$ (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевое число ${\displaystyle q}$ (знаменатель прогрессии, или коэффициент). Выражаясь математически: ${\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n+1}=b_{n}\cdot q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}$^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей^[2].

Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$.

Доказательство

Запишем разность между ${\displaystyle \left(n+1\right)}$-м и ${\displaystyle n}$-м членами геометрической прогрессии по формуле общего члена:

${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\cdot \left(q-1\right).}$

Для возрастающей прогрессии эта разность должна быть положительной независимо от номера ${\displaystyle n}$, а для убывающей — отрицательной. Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гарантируют, что разность членов ${\displaystyle b_{n+1}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ будут иметь определённый знак.■

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей^[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

При ${\displaystyle q<0}$ — знакочередующейся^[3], при ${\displaystyle q=1}$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

${\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов^[4].

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим ${\displaystyle b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$, где ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим ${\displaystyle b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$, где ${\displaystyle j=0}$ либо ${\displaystyle j=1}$ и ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами ${\displaystyle \left(n;\,b_{n}\right)}$, где ${\displaystyle n}$ — номер (натуральное число), а ${\displaystyle b_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой ${\displaystyle q>0}$, то все точки будут принадлежать графику функции:

${\displaystyle y=b_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},}$

где ${\displaystyle q}$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а ${\displaystyle b_{1}}$ — её первый член^[2]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ являлась геометрической прогрессией при ${\displaystyle q>0}$, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle b_{n}}$ являлась показательной функцией (от ${\displaystyle n}$), заданной на множестве натуральных чисел. ^[2]

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[5]:8—9.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• ${\displaystyle q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• ${\displaystyle q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${\displaystyle b_{n}=b_{n-1}\cdot q}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• Формула общего (${\displaystyle n}$-го) члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.}$

• Обобщённая формула общего члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$, если ${\displaystyle 1<i<n}$.

Доказательство

${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

${\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)}$ Формула общего члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}$.
В нашем случае
${\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})}$,
${\displaystyle d=\log(q)}$.

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$, если ${\displaystyle 1<i<n}$.

Доказательство

${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Пусть ${\displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно ${\displaystyle k}$-й, ${\displaystyle l}$-й, ${\displaystyle m}$-й члены геометрической прогрессии, где ${\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }$. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:

${\displaystyle b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.}$

• Произведение первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{n}=\left(b_{1}\cdot b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}$

Доказательство

${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.}$ Раскроем произведение ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}}$: ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{n-1}=q^{0+1+2+\ldots +(n-1)}.}$ Выражение ${\displaystyle 0+1+2+\ldots +(n-1)}$ представляет собой арифметическую прогрессию с ${\displaystyle a_{1}=0}$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна ${\displaystyle S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.}$ Откуда ${\displaystyle P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Доказательство

${\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

• Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов геометрической прогрессии

  ${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\dfrac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}$

Доказательство

• Доказательство через сумму:

  ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.}$

  То есть ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}}$ или

  ${\displaystyle \left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.}$

  Откуда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

• Доказательство индукцией по ${\displaystyle n}$.

  Пусть ${\displaystyle S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

  При ${\displaystyle n=1}$ имеем: ${\displaystyle S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.}$

  При ${\displaystyle n\rightarrow n+1}$ имеем: ${\displaystyle S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}$

• Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма ${\displaystyle n}$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится и неограниченно приближается с ростом ${\displaystyle n}$. Сумма всех членов убывающей прогрессии:

${\displaystyle \left|q\right|<1}$, то ${\displaystyle b_{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$, и

${\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$.

Доказательство

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.}$ Если ${\displaystyle \left|q\right|<1,}$ то ${\displaystyle q^{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty .}$ Поэтому ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.}$ Следовательно ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.}$

Свойства суммы геометрической прогрессии

• ${\displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
• ${\displaystyle S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}}$

где ${\displaystyle \sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, то есть ${\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}$.

Свойства произведения геометрической прогрессии

Произведением первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ называется произведение от ${\displaystyle b_{1}}$ до ${\displaystyle b_{n}}$, то есть выражение вида ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.}$ Обозначение: ${\displaystyle P_{n}}$.

• ${\displaystyle P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}}$
• ${\displaystyle b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}}$
• ${\displaystyle P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1}$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда