Асимптотическая размерность

Асимптотическая размерность метрического пространства — аналог размерности Лебега на большой шкале. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.

Понятие асимптотической размерности было введено Михаилом Громовым^[1] в контексте геометрической теории групп, как квазиизометрический инвариант конечно порожденных групп. Как показал Гуолян Юй, конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова.^[2]

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство и ${\displaystyle n\geqslant 0}$ целое число. Мы говорим, что ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant n}$ если для каждого ${\displaystyle R\geqslant 1}$ существует равномерно ограниченное покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ пространсва ${\displaystyle X}$ такое, что каждый замкнутый ${\displaystyle R}$ шар в ${\displaystyle X}$ пересекает не более ${\displaystyle n+1}$ подмножеств из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$. Здесь равномерно ограниченное означает, что существует ${\displaystyle D}$ такое, что диаметр любого множества в покрытии не превосходит ${\displaystyle D}$.

Асимптотическая размерность ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)}$ определяется как наименьшее целое число, ${\displaystyle n\geqslant 0}$ такое, что ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant n}$, если таких ${\displaystyle n}$ не существует, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X):=\infty }$.

Связанные определения

Говорят, что семейство ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ метрических пространств удовлетворяет ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant n}$ равномерно, если для каждого ${\displaystyle R\geqslant 1}$ и каждого ${\displaystyle i\in I}$ существует покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ пространства ${\displaystyle X_{i}}$ множествами диаметра не более ${\displaystyle D(R)<\infty }$ (независимо от ${\displaystyle i}$) такого, что каждый замкнутый ${\displaystyle R}$-шар в ${\displaystyle X_{i}}$ пересекает не более ${\displaystyle n+1}$ подмножеств из ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$.

Примеры

• Если ${\displaystyle X}$- метрическое пространство ограниченного диаметра, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)=0}$.
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {R} )=\operatorname {asdim} (\mathbb {Z} )=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {R} ^{n})=n}$.
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {H} ^{n})=n}$.
• Группа Григорчука имеет бесконечную асимптотическую размерность.
• Группа Томпсона ${\displaystyle F}$ имеет бесконечную асимптотическая размерность так как они содержат подгруппы, изоморфные ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ для сколь угодно больших ${\displaystyle n}$.

Свойства

• Если ${\displaystyle Y\subseteq X}$является подпространством метрического пространства ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)}$.
• Для любых метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ выполняется следующее неравенство

  ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X\times Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)}$.

• Если ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {asdim} (A\cup B)\leqslant \max\{\operatorname {asdim} (A),\operatorname {asdim} (B)\}}$.
• Если ${\displaystyle f:Y\to X}$является грубым вложением (например, квазиизометрическим вложением), то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)}$.
• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$являются грубо эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)=\operatorname {asdim} (Y)}$.
• Если ${\displaystyle X}$ — метрическое дерево, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant 1}$.
• Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ — липшицево отображение из геодезического метрического пространства ${\displaystyle X}$ в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$. Предположим, что для каждого ${\displaystyle r>0}$ множества из семейства ${\displaystyle \{f^{-1}(B_{r}(y))\}_{y\in Y}}$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \operatorname {asdim} \leqslant n}$ равномерно. Тогда ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant \operatorname {asdim} (Y)+n}$.^[3]
• Если ${\displaystyle X}$ является метрическим пространством с ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)<\infty }$, то ${\displaystyle X}$ допускает грубое (равномерное) вложение в Гильбертово пространство.^[4]
• Если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство ограниченной геометрии с ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leqslant n}$, то ${\displaystyle X}$ допускает грубое вложение в произведение ${\displaystyle n+1}$ локально конечных деревьев.^[5]

Асимптотическая размерность в геометрической теории групп

Асимптотическая размерность приобрела особое значение в геометрической теории групп после статьи 1998 года Гуолян Ю^[6] В ней было доказано, что если ${\displaystyle G}$ — конечно порожденная группа конечного гомотопического типа (то есть с классифицирующим пространством гомотопического типа конечного CW-комплекса), такая, что ${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$${\displaystyle G}$удовлетворяет гипотезе Новикова. Впоследствии было показано, что конечно порожденные группы с конечной асимптотической размерностью топологически аменабельны^[7], то есть удовлетворяют свойству Гуолян Ю, введенному в ^[8] и эквивалентному точности приведенной C*-алгебры группы.

• Если ${\displaystyle G}$ это словесно-гиперболическая группа, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$.^[9]

• Если ${\displaystyle G}$ является относительно гиперболической по отношению к подгруппам ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}$ каждая из которых имеет конечную асимптотическую размерность, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$.^[10]

• Если ${\displaystyle H\leqslant G}$, где ${\displaystyle H,G}$конечно порождены, то ${\displaystyle \operatorname {asdim} (H)\leqslant \operatorname {asdim} (G)}$.

• Группы классов отображения ориентируемых поверхностей конечного типа имеют конечную асимптотическую размерность.^[11]

• Пусть ${\displaystyle G}$ — связная группа Ли и ${\displaystyle \Gamma \leqslant G}$ — конечно порожденная дискретная подгруппа. Тогда ${\displaystyle asdim(\Gamma )<\infty }$.^[12]