Квазиизометрия

Квазиизометрия — обобщение понятия изометрии на метрических пространствах, игнорирующая конечные отклонения, как абсолютные, так и относительные. Это понятие особенно важно в геометрической теории групп. Введено Михаилом Громовым.

Определение

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ (не обязательно непрерывное) отображение из одного метрического пространства в другое называется квазиизометрией если существуют константы ${\displaystyle A\geq 1}$, ${\displaystyle B\geq 0}$ и ${\displaystyle C\geq 0}$ такие, что следующие два свойства выполнены:

1. Для любых двух точек ${\displaystyle x,x'\in X}$ выполняется

   ${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}\cdot |x-x'|_{X}-B\leq |f(x)-f(x')|_{Y}\leq A\cdot |x-x'|_{X}+B.}$

2. Для любой точк ${\displaystyle y\in Y}$ найдётся точка ${\displaystyle x\in X}$ такая, что

   ${\displaystyle |f(x)-y|_{Y}\leq C.}$

Связанные определения

• Отображение удовлетворяющее только первому условию называется квазиизометрическим вложением.

• Пространства между которыми существует квазиизометрия называются квазиизометрические.

Применение в теории групп

Пусть ${\displaystyle S}$ конечное порождающее множество группы ${\displaystyle G}$. Рассмотрим соответствующий граф Кэли. Этот граф превращается в метрическое пространство, если мы заявляем, что длина каждого ребра равен 1.

Для другого порождающего множества ${\displaystyle S'}$ эта конструкция даёт другое другое метрическое пространство, однако два полученных пространства квазиизометричны.^[1] Таким образом квазиизометрический класс этого пространства, является инвариантом группы ${\displaystyle G}$. То есть, не зависит от выбора порождающего множества.

Свойства

• Любая группа квазиизометрична любой своей подгруппе конечного индекса.
• Любая группа квазиизометрична любой своей фактор-группе по конечной нормальной подгруппе.