Бинарная операция

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

Определение

Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре ${\displaystyle A,\;B}$ со значениями в ${\displaystyle C}$ называется отображение ${\displaystyle P:A\times B\to C}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ — непустое множество. Бинарной операцией на множестве ${\displaystyle A}$, или внутренней бинарной операцией, называют отображение ${\displaystyle P:A\times A\to A}$.

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции ${\displaystyle P:A\times A\to A}$ (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида ${\displaystyle P:A\times B\to A}$ или ${\displaystyle P:B\times A\to A}$ (внешними законами композиции).

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ${\displaystyle \circ }$ результат её применения к двум элементам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ записывается в виде ${\displaystyle x\circ y}$.

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:

• префиксная (польская запись) — ${\displaystyle \circ \,x\;y}$;
• постфиксная (обратная польская запись) — ${\displaystyle x\;y\,\circ }$.

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

${\displaystyle x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.}$

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется ассоциативной, только когда

${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.}$

Для ассоциативной операции ${\displaystyle \circ }$ результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на ${\displaystyle M}$ называют умноже́нием, то её результат для элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют их произведе́нием и обозначают ${\displaystyle x\cdot y}$ или ${\displaystyle xy}$. В этом случае нейтральный элемент ${\displaystyle e\in M}$, то есть элемент, удовлетворяющий равенствам

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,}$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют су́ммой и обозначают ${\displaystyle x+y}$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

${\displaystyle x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.}$

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Доказательство

Пусть имеется два нейтральных элемента ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$. По определению нейтрального элемента, для любого элемента ${\displaystyle x}$ должно выполняться:

${\displaystyle e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,}$

${\displaystyle e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.}$

Положим в первом из этих равенств ${\displaystyle x=e_{2}}$, а во втором ${\displaystyle x=e_{1}}$:

${\displaystyle e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},}$

${\displaystyle e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.}$

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:

${\displaystyle e_{1}=e_{2}.}$■

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

Доказательство

Предположим, что у некоторого элемента ${\displaystyle a}$ есть два обратных элемента ${\displaystyle b_{1}}$ и ${\displaystyle b_{2}}$. По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:

${\displaystyle a\circ b_{1}=b_{1}\circ a=e,}$

${\displaystyle a\circ b_{2}=b_{2}\circ a=e.}$

Рассмотрим выражение ${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)}$. Так как ${\displaystyle b_{2}}$ является обратным элементом к ${\displaystyle a}$, то имеет место следующее равенство

${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=b_{1}\circ e=b_{1}}$.

С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то

${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=\left(b_{1}\circ a\right)\circ b_{2}=e\circ b_{2}=b_{2}.}$

Левые части последних двух равенств равны, — значит, равны и правые, то есть ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$, что и требовалось доказать. ■

См. также

• Арность
• Унарная операция
• Тернарная операция

Литература

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.