Вариация поворота кривой

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Кривая с вариацией поворота ${\displaystyle 6\cdot \pi }$

Определение

Вариация поворота кривой ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в ${\displaystyle \gamma }$ ломаной.

В случае если кривая ${\displaystyle \gamma }$ замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.

Замечания

• Если ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}}$ гладкая кривая, параметризованная длиной, ${\displaystyle \kappa (s)}$ — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:

  ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.}$

• Вариация поворота гладкой регулярной кривой ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}}$ можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой ${\displaystyle \tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1}}$ образованной единичными касательными векторами ${\displaystyle \tau (s)={\tfrac {{\dot {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}}$.

Свойства

• Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$. Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой.
• Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше ${\displaystyle 4{\cdot }\pi }$.
• Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ то её длина не превосходит её вариацию поворота.^[1]
• Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ не превосходит её удвоенной константы Липшица.^[2]
• Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота.^[3]
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.^[4]

Вариации и обобщения

• Для плоских кривых, у кривизны можно определить знак и определить поворот кривой как интеграл кривизны с знаком. Теорема о повороте кривой является дифференциальногеометрическим аналогом теоремы о сумме углов многоугольника.