Вектор Умова — Пойнтинга

Вектор Умова — Пойнтинга (также вектор Пойнтинга ) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, компоненты которого входят в состав тензора энергии-импульса электромагнитного поля^[1].

Вектор Умова — Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$ (в системе СГС),

${\displaystyle \mathbf {S} =[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$ (в Международной системе единиц (СИ)),

где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. В СИ величина S имеет размерность Вт/м².

Модуль вектора Умова — Пойнтинга равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S, в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии.

Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны (см. граничные условия), то нормальная составляющая вектора S непрерывна на границе двух сред.

цепь постоянного тока i, соединяющая батарею V с резистором R
вектор Пойнтинга S в пространстве, окружающем цепь
напряжённость электрического поля Е
напряжённость магнитного поля H
Вокруг батареи вектор Умова — Пойнтинга направлен от батареи, что свидетельствует о переносе энергии из батареи; вокруг этого резистора вектор Умова — Пойнтинга направлен к резистору, что говорит о переносе энергии в резистор; поток вектора Умова — Пойнтинга через любую плоскость Р между батареей и резистором — направлен от батареи к резистору

Случай электромагнитной волны

Вывод для СИ

Пусть электромагнитная волна распространяется в вакууме (${\displaystyle \mu =\varepsilon =1}$) и пусть её скорость равна ${\displaystyle c}$. Тогда полная плотность электромагнитной энергии будет складываться из плотностей энергии электрического поля и энергии магнитного поля

${\displaystyle u=u_{E}+u_{H}={\cfrac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\cfrac {\mu _{0}H^{2}}{2}}.}$

В вакууме ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}}$ изменяются синфазно, следовательно, можно положить, что ${\displaystyle E{\sqrt {\varepsilon _{0}}}=H{\sqrt {\mu _{0}}}.}$

Тогда ${\displaystyle u={\cfrac {(E{\sqrt {\varepsilon _{0}}})(E{\sqrt {\varepsilon _{0}}})}{2}}+{\cfrac {(H{\sqrt {\mu _{0}}})(H{\sqrt {\mu _{0}}})}{2}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}EH={\cfrac {1}{c}}EH.}$

Умножив последнее выражение на ${\displaystyle c,}$ получим для модуля плотности потока энергии ${\displaystyle S=uc=EH.}$

В случае квазимонохроматических электромагнитных полей справедливы следующие формулы для усреднённой по периоду комплексной плотности потока энергии^[2]:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {S} }}={\frac {c}{8\pi }}[\mathbf {E} \times \mathbf {H^{\ast }} ]}$ (в системе СГС),

${\displaystyle {\overline {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}[\mathbf {E} \times \mathbf {H^{\ast }} ]}$ (в системе СИ),

где E и H — векторы комплексной амплитуды электрического и магнитного полей соответственно. В этом случае чёткий физический смысл имеет только действительная часть комплексного вектора S — это вектор усреднённой за период плотности потока энергии. Физический смысл мнимой части зависит от конкретной задачи.

Вектор Умова — Пойнтинга и импульс электромагнитного поля

В силу симметричности тензора энергии-импульса все три компоненты вектора пространственной плотности импульса электромагнитного поля равны соответствующим компонентам вектора Пойнтинга, делённым на квадрат скорости света:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dV}}={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {S} ={\frac {1}{c^{2}}}[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$ (в системе СИ).

В этом соотношении проявляется материальность электромагнитного поля.

Поэтому, чтобы узнать импульс электромагнитного поля в той или иной области пространства, достаточно проинтегрировать вектор Пойнтинга по объёму.

История

Общее представление о потоке механической энергии в пространстве впервые было введено Н. А. Умовым в 1874 году для упругих сред и вязких жидкостей. На этом основании в более старых русскоязычных публикациях вектор плотности потока энергии любой физической природы называется вектором Умова^[3]. В 1884 году Д. Г. Пойнтингом^[4] были разработаны представления о плотности потока электромагнитной энергии. Поэтому вектор плотности потока электромагнитной энергии многими называется вектором Пойнтинга.

Сами же законы сохранения и превращения энергии, где присутствует понятие плотности потока какого-либо вида энергии, используются, как правило, без указания имен первооткрывателей, поскольку законы сохранения являются следствием других уравнений и дополнительных условий.

См. также

• Теорема Пойнтинга