Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$

где

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right)}$ — плотность энергии,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная,

${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, S — вектор Пойнтинга,

J — плотность тока, E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\,dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \,d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \,dV,}$

где ${\displaystyle \partial V}$ — поверхность, ограничивающая объём ${\displaystyle V}$.

В технической литературе теорема обычно записывается так (${\displaystyle u}$ — плотности энергии):

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}\right)}$ — изменение плотности энергии электрического поля, ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}$ — изменение плотности энергии магнитного поля и ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда — вакуум (μ = 1, ε = 1); для общего случая с произвольной средой нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, получим

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла — Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {E} }$, получим

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Вычитая первое из второго, получим

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Наконец,

${\displaystyle -\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Поскольку вектор Пойнтинга ${\displaystyle \mathbf {S} }$ определяется как

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

это равносильно

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}$

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

${\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta {\big (}\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t){\big )},}$

${\displaystyle \mathbf {S_{m}} }$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

${\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta {\big (}\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t){\big )}.}$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u_{e}+u_{m})+\nabla \cdot (\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m})=0.}$

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока ${\displaystyle \mathbf {S} \sim \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ можно выбрать форму Авраама ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$, форму Минковского ${\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }$, или какую-либо другую.