Вектор Шепли

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме её формирования. Назван в честь американского экономиста и математика Ллойда Шепли.^[1][2]

Формальное определение

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков ${\displaystyle N}$. Обозначим через ${\displaystyle K_{i}}$ подмножество, содержащее ${\displaystyle i}$ первых игроков в данном упорядочении. Вкладом ${\displaystyle i}$-го по счету игрока назовем величину ${\displaystyle v(K_{i})-v(K_{i-1})}$, где ${\displaystyle v}$ — характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции ${\displaystyle K_{i}}$, при равновероятном возникновении упорядочений:

${\displaystyle \Phi (v)={\frac {1}{n!}}\sum _{\tau \in T}x_{\tau },}$

где ${\displaystyle n}$ — количество игроков, ${\displaystyle T}$ — множество упорядочений множества игроков ${\displaystyle N,\ x_{\tau }}$ — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте ${\displaystyle i}$ в упорядочении ${\displaystyle \tau }$, получает свой вклад в коалицию ${\displaystyle K_{i}}$ (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения ${\displaystyle n!}$ точек Вебера, имеет вид:

${\displaystyle \Phi (v)_{i}=\sum _{i\in K}{\frac {(k-1)!(n-k)!}{n!}}\left(v(K)-v(K\setminus i)\right),}$

где ${\displaystyle n}$ — количество игроков, ${\displaystyle k}$ — количество участников коалиции ${\displaystyle K}$.

Аксиоматика вектора Шепли

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение ${\displaystyle \Phi (v)}$ представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \Phi (v+w)=\Phi (v)+\Phi (w);}$

и для любой игры с характеристической функцией ${\displaystyle v}$ и для любого ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Phi (\alpha v)=\alpha \Phi (v).}$

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра ${\displaystyle w}$ получена из игры ${\displaystyle v}$ перестановкой игроков, то её вектор Шепли ${\displaystyle \Phi (w)}$ есть вектор ${\displaystyle \Phi (v)}$ с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок ${\displaystyle i}$ такой, что для любой коалиции ${\displaystyle K}$, содержащей ${\displaystyle i}$, выполнено: ${\displaystyle v(K)-v(K\setminus i)=0}$.

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок ${\displaystyle i}$ — болван, то ${\displaystyle \Phi (v)_{i}=0}$.

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора ${\displaystyle \Phi (v)}$ равна ${\displaystyle v(N)}$.

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры ${\displaystyle v}$ существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

Приложения

Одним из современных приложений вектора Шепли в машинном обучении является оценка влияния отдельных признаков примера на прогнозируемое значение при решении задачи классификации^[3] или регрессии^[4].