Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Характеристическая функция случайной величины
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.
Remove ads
Определение
Суммиров вкратце
Перспектива
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
- .
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
- ,
то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве , то её характеристическая функция имеет вид:
- ,
где обозначает скалярное произведение в .
Remove ads
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина дискретна, то есть , то
- .
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
- .
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
- .
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- .
Remove ads
Свойства характеристических функций
- Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть есть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
- Характеристическая функция всегда ограничена:
- .
- Характеристическая функция в нуле равна единице:
- .
- Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна: .
- Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
- .
- Характеристическая функция суммы взаимно независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
- .
- Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных верно равенство , где означает комплексно сопряжённую с функцию[1].
- Теорема обращения (Леви). Пусть — функция распределения, а — её характеристическая функция. Если и — точки непрерывности , то
- Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство [2]. Здесь означает комплексно сопряжённое к число.
Remove ads
Вычисление моментов
Если случайная величина имеет начальный -й момент, то характеристическая функция имеет непрерывную -ю производную, то есть , и более того:
- .
Remove ads
Обратное преобразование Фурье
Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда
- если дискретна и принимает целые значения, то
- ;
- если абсолютно непрерывна, и — её плотность, то
- .
Remove ads
Достаточные условия
Чтобы функция была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией, и при (теорема Титчмарша — Пойи).
Remove ads
Необходимые и достаточные условия
Пусть — непрерывная функция и . Для того, чтобы функция была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство (Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь означает комплексно сопряжённое к число[2].
Remove ads
См. также
- Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).
- Прямая и обратная предельная теорема
- Теорема Титчмарша — Пойи
- Теорема Бохнера — Хинчина
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads