Вероятностный классификатор

Вероятностный классификатор — классификатор, который способен предсказывать, если на входе заданы наблюдения, распределение вероятностей над множеством классов, а не только вывод наиболее подходящего класса, к которому наблюдения принадлежат. Вероятностные классификаторы обеспечивают классификацию, которая может быть полезна сама по себе^[1] или когда классификаторы собираются в ансамбли.

Типы классификации

Формально, «обычный» классификатор — это некоторое правило или функция, которая назначает наблюдению x класс меток ŷ:

${\displaystyle {\hat {y}}=f(x)}$

Наблюдения берутся из некоторого множества X (например, множество всех документов, или множество всех изображений), в то время класс меток образует конечное множество Y, определённое до тренировки классификатора.

Вероятностные классификаторы обобщают понятие классификаторов — вместо функций они являются условными вероятностями ${\displaystyle \Pr(Y\vert X)}$, что значит, что для данного ${\displaystyle x\in X}$ классификатор назначает вероятности для всех ${\displaystyle y\in Y}$ (и сумма этих вероятностей равна единице). «Жёсткая» классификация может затем быть осуществлена с помощью правила принятия оптимальных решений^[2].

${\displaystyle {\hat {y}}=\operatorname {\arg \max } _{y}\Pr(Y=y\vert X)}$

то есть предсказанный класс — это класс с наибольшей вероятностью.

Бинарные вероятностные классификаторы называются в статистике также биномиальными регрессионными^[англ.] моделями. В эконометрике вероятностный классификатор в общем случае называется дискретным выбором.

Некоторые классификационные модели, такие как наивный байесовский классификатор, логистическая регрессия и многослойные перцептроны (когда они тренируются с подходящими функциями потерь) естественным образом являются вероятностными. Другие модели, такие как методы опорных векторов, вероятностными не являются, но существуют методы, превращающие их в вероятностные классификаторы.

Порождающая и условная тренировки

Некоторые модели, такие как модель логистической регрессии тренируются условно — они оптимизируют условную вероятность ${\displaystyle \Pr(Y\vert X)}$ непосредственно на тренировочном наборе (минимизация эмпирического риска). Другие классификаторы, такие как наивный байесовский классификатор, являются тренированными порождающими^[англ.] классификаторами — во время тренировки находятся условное по классам распределение ${\displaystyle \Pr(X\vert Y)}$ и априорный класс ${\displaystyle \Pr(Y)}$, а условное распределение ${\displaystyle \Pr(Y\vert X)}$ получают с помощью байесовского правила^[3].

Калибрация вероятности

Не все модели классификации естественным образом вероятностны, а те, которые вероятностны по своей природе, в частности, наивные байесовские классификаторы, деревья решений и методы бустинга, дают искажённые распределения вероятностей^[4]. В случае деревьев решений, когда Pr(y|x) является пропорцией тренировочных выборок с меткой y в листе, которым x заканчивается, это искажение распределения возникает ввиду того, что обучающие алгоритмы, такие как C4.5 или деревья классификации и регрессии (англ. Classification and regression trees, CART) в явном виде стремятся получить однородные листья (давая вероятности, близкие к нулю или единице, а потому сильное смещение), в то время как для оценки пропорции используется лишь несколько экземпляров (высокая дисперсия)^[5].

Пример калибровочного графика

Может быть определено масштабирование с помощью калибровочного графика (называемого также диаграммой надёжности). Калибровочный график показывает пропорцию элементов в каждом классе для дорожек предсказанной вероятности или показателя (такого как искривлённое распределение вероятностей или «расстояния до гиперплоскости» (со знаком) в методе опорных векторов). Отклонения о тождественной функции указывают на плохо калиброванный классификатор, для которого предсказанные вероятности или показатели не могут быть использованы в качестве вероятностей. В этом случае можно использовать метод превращения этих показателей в должным образом калиброванный^[англ.] класс вероятностей.

Для двоичного случая общим подходом является применение масштабирования по Платту^[англ.], который обучает модель логистической регрессии по показателям^[6]. Альтернативный метод с использованием изотонной регрессии^{[англ.][7]} обычно лучше метода Платта, если доступен достаточно большой набор тренировлчных данных^[4].

В мультиклассовом^[англ.] случае можно использовать сведение к двоичным задачам с последующей одномерной калибровкой по алгоритму, как описано выше, а потом применением алгоритма попарного объединения Гесте и Тибширани^[8].

Вычисление вероятностной классификации

Обычно используемые функции потерь для вероятностной классификации — логистическая функция потерь и показатель Бриера^[англ.] между предсказанным и истинным распределением вероятностей. Первая из этих функций обычно используется для тренировки логистических моделей.

Метод, используемый для назначения показателей парам предсказанных вероятностей и актуальных дискретных исходов, так что различные методы предсказания можно было бы сравнить, называется правилом подсчёта результатов^[англ.].