Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением ${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=b}$), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку ${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{k}}$, имеет вид

${\displaystyle \langle \mathbf {n}$ ;\mathbf {x} \rangle =\langle \mathbf {n} ;\mathbf {X} \rangle }

Здесь ${\displaystyle \langle \bullet$ ;\bullet \rangle }  — скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$. В частном случае уравнение принимает вид

${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{k}x_{k}=d=n_{1}X_{1}+n_{2}X_{2}+\ldots +n_{k}X_{k}}$

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки ${\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{k}}$ до этой гиперплоскости задаётся формулой

${\displaystyle \rho ={\frac {|\langle \mathbf {r} -\mathbf {R}$ ;\mathbf {n} \rangle |}{|\mathbf {n} |}}}

где ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность