Вычитание векторов

Обзорные статьи: Линейная операция и Вектор (геометрия)

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов, — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы^{[1][2][3][4][5]}. При этом разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо без^{[6][5][7][8][9][10]}. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^{[3][4][5][11]}.

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a — b

Определение

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус^{[1][2][3][4][5]}:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} .}$

Определение без использования противоположного вектора

Параллелограмм сложения и вычитания векторов

Следующее определение разности аналогично определению разности чисел^[12].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^{[6][5][7][8][9][10][12]}.

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения^[12].

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, отложенных от одной точки, — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$, проведённый от конца вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$ к концу вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^{[5][7][8][10][12]}.

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами^[12]:

• всегда выполнима;
• однозначна, то есть из ${\displaystyle \mathbf {b} +\mathbf {x} =\mathbf {b} +\mathbf {y} }$ следует ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} .}$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)^[10].

Противоположный вектор

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа)^{[6][9][10][11][12][13][14][15]}: ${\displaystyle -\mathbf {a} .}$

Также противоположный вектор можно определить как вектор ${\displaystyle \mathbf {0} -\mathbf {a} }$^[12].

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов есть сумма векторов
c = a + (−b)

Из определения противоположного вектора следуют равенства^{[11][14][15][16]}:

${\displaystyle -(-\mathbf {a} )=\mathbf {a} ,\quad |-\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |,\quad \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0} .}$

Определение с использованием противоположного вектора

Теорема 1.

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок справа)^[14][16].

Доказательство. Из определения разности векторов получаем^[10][14]:

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} ,}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {0} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ),}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ).}$

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом^[11][14][16].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$ (см. рисунки справа)^[5][11][16].

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$, проведённый от начала вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ к концу вектора ${\displaystyle -\mathbf {b} }$, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа)^[14].

Параллелограмм вычитания произвольных векторов: разность векторов строится как при помощи противоположного вектора, так и без

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы^[17].

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} }$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)^[17].

Доказательство. Вычислим^[1]:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a} .}$

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком^[1][16][18].

Доказательство. Пусть

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {c} .}$

Тогда по теореме 2 получаем^[1][16][18]:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {c} .}$

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел^[16].

Правило раскрытия скобок

Теорема 4. Правило раскрытия скобок^[19].

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).}$

Доказательство^[19]

В силу определения разности двух векторов из исходного выражения получаем:

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n})).}$

Обозначим эту сумму через ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и опустим внешние скобки по сочетательному закону сложения векторов:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})+\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}).}$

Несколько раз используем переместительный закон сложения векторов:

${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n}).}$

Прибавим к обеим частям равенства сумму векторов

${\displaystyle (\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})}$

и используем законы сложения векторов:

${\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}}$

${\displaystyle {}+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n})+\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}}$

${\displaystyle {}+(\mathbf {b} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {b} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {b} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}))=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+\mathbf {0} +\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =}$

${\displaystyle =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n}.}$

По теореме 3 окончательно имеем:

${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).}$

Модуль разности

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов^[20]:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |.}$

В случае коллинеарных векторов^[21]:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} |\geqslant |\mathbf {b} |;}$

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |,\quad |\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |.}$

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже)^[5]:

• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |<|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |>|\mathbf {a} |.}$

Три случая величины модуля разности векторов: слева |a – b| < |a|, в центре |a – b| = |a|, справа |a – b| > |a|,

Имеет место следующее тождество:

${\displaystyle 2|\mathbf {a} |^{2}+2|\mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}}$,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора)^[22].