Вязкостное решение

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$,

заданное в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ таких, что их разница ${\displaystyle Y-X}$ положительно определенна, и любых значений ${\displaystyle x\in \Omega }$, ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).}$

Примеры

• Уравнение Лапласа

  ${\displaystyle -\Delta u=0}$.

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle u}$, заданная в ${\displaystyle \Omega }$, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \geqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$, выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.}$

Аналогично полунепрерывная снизу функция ${\displaystyle u}$, заданная в ${\displaystyle \Omega }$, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \leqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.}$

Непрерывная функция ${\displaystyle u}$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Крэндалла^[англ.] и Лионса в 1983 году^[1] для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом^[англ.] ранее, в 1980 году.^[2] Определение было уточнено в совместной работе всех троих.^[3]