Полунепрерывная функция

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

Определения

• Пусть дано полное метрическое пространство ${\displaystyle (X,\varrho ).}$ Вещественнозначная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$, если

${\displaystyle \varliminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})\right).}$

• Функция ${\displaystyle f}$ называется полунепрерывной снизу (сверху) на ${\displaystyle M\subset X}$, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех ${\displaystyle x_{0}\in M}$.

Свойства

• Функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество ${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)>a\}}$ открыто при любом ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$
• Пусть ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма ${\displaystyle f+g}$ также полунепрерывна снизу (сверху).
• Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке ${\displaystyle x_{0}}$ функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в ${\displaystyle x_{0}}$. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$ таких, что ${\displaystyle f_{n+1}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in \mathbb {N} \;\forall x\in X.}$ Тогда если существует предел ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,}$ то ${\displaystyle f}$ полунепрерывна снизу (сверху).
• Если ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle v:X\to \mathbb {R} }$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
       ${\displaystyle -\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,}$
  то существует непрерывная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$, такая что
      ${\displaystyle v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.}$
• (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество ${\displaystyle K\subset X.}$ Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ достигает на ${\displaystyle K}$ своего минимума (максимума).

Примеры

• Целая часть ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ является полунепрерывной сверху функцией;
• Дробная часть ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ полунепрерывная снизу.
• Индикатор ${\displaystyle \mathbf {1} _{U}}$ произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \varrho }$, множества ${\displaystyle U\subset X}$ является полунепрерывной снизу функцией.
• Индикатор ${\displaystyle \mathbf {1} _{V}}$ произвольного замкнутого множества ${\displaystyle V\subset X}$ является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
• Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.