Гармоническая четвёрка

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых ${\displaystyle (ABCD)=-1}$. В этом случае говорят также, что точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ гармонически сопряжены относительно ${\displaystyle A,B}$ и пишут ${\displaystyle H(AB,CD)}$.

A, B, C, D — гармоническая четвёрка точек.

Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых ${\displaystyle a,b,c,d}$ в проективной плоскости, проходящих через одну точку ${\displaystyle S}$, для которых любая четвёрка точек ${\displaystyle A,B,C,D}$, такая, что ${\displaystyle A\in a,B\in b,C\in c,D\in d}$, находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут ${\displaystyle H(ab,cd)}$.

Свойства

• Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
• На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.

Построение

• Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
• На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
• Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема^[1]: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.

Пример гармонической четвёрки точек

• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек^[2].
• Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности^[3].

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости

• Если точка ${\displaystyle D_{\infty }}$ несобственная, то четвёрка ${\displaystyle A,B,C,D_{\infty }}$ гармоническая, если ${\displaystyle C}$ — середина отрезка ${\displaystyle AB}$.
• Если ${\displaystyle ABCD}$ — полный четырёхвершинник и его диагональные точки ${\displaystyle P_{\infty },Q_{\infty }}$ — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости ${\displaystyle ABCD}$ — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
• Если ${\displaystyle ABCD}$ — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка ${\displaystyle R_{\infty }=BC\cap AD}$ — несобственная, ${\displaystyle P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD}$, то на расширенной евклидовой плоскости ${\displaystyle ABCD}$ — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что ${\displaystyle PQ}$ делит ${\displaystyle AD}$ пополам.