Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат ${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}}$. Комплексная проективная прямая ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$. Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}}$.

Действие групп на проективной прямой

Для групп ${\displaystyle GL_{2}(k),SL_{2}(k)}$ и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы ${\displaystyle PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)}$, для которых это действие является точным. Для конечного поля ${\displaystyle PSL_{2}(k)}$ изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы^[1].

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой ${\displaystyle P^{1}(K)}$ является поле ${\displaystyle K(X)}$ рациональных функций. Группой автоморфизмов поля ${\displaystyle K(X)}$ является группа ${\displaystyle PGL_{2}(K)}$. Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.