Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, названное в честь Давида Гильберта, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков ${\displaystyle [0,1]}$ (с топологией произведения).

Этапы построения гильбертова кирпича

Определение

Формально гильбертов кирпич — множество точек гильбертова пространства, координаты которых в некотором ортонормированном базисе удовлетворяют соотношениям ${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant a_{n}}$, где a = {${\displaystyle {a_{n}}}$} является точкой гильбертова пространства^[1]. Гильбертов кирпич является выпуклой оболочкой множества векторов, у которых некоторая координата равна нулю, либо ${\displaystyle a_{n}}$ (вершины гильбертова кирпича)^[1].

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$:

  ${\displaystyle \left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots ,}$

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$, такие, что

${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}}$.

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.