Гиперболическое число

О гиперкомплексных числах параболического типа, иногда также называемых двойными, см. Дуальное число.

Гиперболическое число (двойное число, паракомплесное число, расщепляемое комплексное число, контркомплексное число^[1]) — гиперкомплексное число вида ${\displaystyle a+jb}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа, а ${\displaystyle j^{2}=1}$, причём ${\displaystyle j\neq \pm 1}$.

Сложение и умножение гиперболических чисел определяются по правилам:

${\displaystyle (x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y')}$,

${\displaystyle (x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx')}$,

деление на число, не являющееся делителем нуля:

${\displaystyle {\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.}$

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

${\displaystyle j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}}$.

Название обусловлено следующей связью с гиперболическими функциями:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x}$,

${\displaystyle \operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x}$,

${\displaystyle \operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x}$.

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел.

Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, что ${\displaystyle zw=0}$) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид ${\displaystyle a\cdot (1\pm j)}$.

Если взять ${\displaystyle \alpha =(1+j)/2}$ и ${\displaystyle \beta =(1-j)/2}$, то ${\displaystyle \alpha \beta =0}$, ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha }$ и ${\displaystyle \beta ^{2}=\beta }$. Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма ${\displaystyle \alpha x+\beta y}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Среди приложений гиперболических чисел — релятивистская кинематика (в частности, геометрический смысл быстроты).