Делитель нуля

Термин «Делитель» имеет также другие значения.

Делитель нуля — ненулевой элемент ${\displaystyle a}$ кольца, для которого существует другой ненулевой элемент ${\displaystyle b}$, произведение с которым даёт нулевой элемент: ${\displaystyle ab=0}$ или ${\displaystyle ba=0}$. Элемент ${\displaystyle a}$ является левым делителем нуля, если существует ненулевой ${\displaystyle b}$ такой, что ${\displaystyle ab=0}$, и, соответственно, правым делителем нуля, если существует ненулевой ${\displaystyle b}$, при котором ${\displaystyle ba=0}$. В коммутативном кольце понятия правого и левого делителя нуля совпадают. Понятие естественным образом обобщается на полугруппы с нулём.

Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементом^[1].

Нуль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля.

Область целостности — коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля^[2].

Свойства

Если ${\displaystyle a}$ не является левым делителем нуля, то равенство ${\displaystyle ab=ac}$ можно сократить на ${\displaystyle a}$; аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно^[2].

Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.

Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля^[1]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может^[3].

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).

Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля^[4], см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.

Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца ${\displaystyle c}$, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку ${\displaystyle c(1-c)=0}$.

Примеры

Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.

В кольце вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ по модулю ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle k}$ не взаимно просто с ${\displaystyle m}$, то вычет ${\displaystyle k}$ является делителем нуля. Например, в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ элементы 2, 3, 4 — делители нуля:

${\displaystyle 2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0}$.

В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.

Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)^[5][6].