Гипотеза Даффина — Шаффера

Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году^[1]: для всякой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{+}}$ почти для всех ${\displaystyle \alpha }$ (относительно меры Лебега) неравенство:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах ${\displaystyle p,q}$ (${\displaystyle q>0}$) тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty }$,

где ${\displaystyle \varphi (q)}$ — функция Эйлера.

Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом^[2].

История

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится.^[3] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа ${\displaystyle c>0}$ такая, что для каждого целого числа ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle f(n)=c/n}$, или ${\displaystyle f(n)=0}$.^[4][5] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}$.^[6][7] Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результат^[8], гипотеза верна, если существует число ${\displaystyle \varepsilon >0}$, такое что ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty }$.

В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезы^[4][9][10].

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее^[11].

Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году^[2].