Эрдёш, Пал

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Эрдёш.

Пал Э́рдёш^[13] (венг. Erdős Pál; 26 марта 1913, Будапешт — 20 сентября 1996, Варшава) — венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша.

Пал Эрдёш
венг. Erdős Pál
Дата рождения	26 марта 1913(1913-03-26)[1][2][…]
Место рождения	Будапешт, Австро-Венгерская империя
Дата смерти	20 сентября 1996(1996-09-20)[1][3][…] (83 года)
Место смерти	Варшава, Польша[4][5][…]
Страна	Венгрия[6][7][…]
Род деятельности	математик
Научная сфера	математик
Место работы	Институт перспективных исследований[8] Манчестерский университет Виктории[вд][9] Университет Пердью[10] Университет Нотр-Дам[11] Технион[11]
Альма-матер	Будапештский университет
Учёная степень	доктор[12]
Научный руководитель	Липот Фейер
Ученики	Джордж Перди[вд], Александр Сойфер[вд] и Теренс Тао
Награды и премии	Премия Вольфа по математике (1983/84)
Цитаты в Викицитатнике
Медиафайлы на Викискладе

Количество написанных им научных статей, как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1400)^[14].

Биография

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать — Анна (Йоханна) Вильгельм (1880—1971), родом из Поважска-Бистрицы, — некоторое время была директором школы (1919—1920), отец — Лайош Эрдёш (до политики мадьяризации имён — Энгландер, 1879—1942) — был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в плену в Сибири^[15].

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет. В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм, поэтому в 1934 году принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете^[16].

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет. Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более десяти лет^[17].

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами. Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция. Похоронен вместе с отцом и сестрой в Будапеште на Еврейском кладбище на улице Козма^{[англ.][18]}.

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992)^[19].

Особенности характера

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь^[20].

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает»^[21].

Будучи агностиком-атеистом, он, тем не менее, утверждал существования «Книги»(The Book) — сущности, в которой Бог записал самые лучшие, наиболее элегантные доказательства математических теорем. Выступая с лекцией в 1985 году, он сказал: «Вы не обязаны верить в Бога, но вы должны верить в Книгу». Эрдёш сомневался в существовании Бога, в шутку он называл его SF (сокращение от "Supreme Fascist", т. е. «Верховный Фашист»), обвиняя его в том, что тот прячет его носки и венгерские паспорта, а также оставляет самые элегантные математические доказательства при себе. Когда он видел особенно красивое математическое доказательство, он восклицал: «Это из Книги!» Позже это вдохновило на создание книги под названием «Доказательства из Книги».

Вклад

Ниже указаны лишь некоторые результаты Эрдёша.

Теория чисел

• Доказал, что существует такое число ${\displaystyle c<1}$, что для бесконечно многих простых чисел ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle p'-p<c\log p}$, где ${\displaystyle p'}$— следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы ${\displaystyle c>0}$ существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$, таких что

${\displaystyle p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами^[22].

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого ${\displaystyle k}$ выполнено ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}}$.

Пусть зафиксировано некоторое произвольное ${\displaystyle N}$. Разобьём все числа меньшие ${\displaystyle N}$ на два класса - те, которые имеют простой делитель ${\displaystyle p\geq k}$ и те, у которых все простые делители меньше ${\displaystyle k}$.

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}}$.

Каждое число из второго класса представимо в виде ${\displaystyle a{b^{2}}}$, где ${\displaystyle a}$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших ${\displaystyle k}$. Кроме того, очевидно, ${\displaystyle b\leq {\sqrt {N}}}$. Значит, таких чисел существует не более чем ${\displaystyle {2^{k}}{\sqrt {N}}}$.

Рассмотрев это рассуждение для числа ${\displaystyle N>2^{2k+2}}$ можно получить, что общее количество чисел меньших ${\displaystyle N}$ будет ${\displaystyle {\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N}$, что приводит к противоречию, так как каждое число меньше ${\displaystyle N}$, очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

• Доказал, что для ${\displaystyle 4\leq k<n}$ и ${\displaystyle l\geq 2}$ уравнение ${\displaystyle C_{n}^{k}=m^{l}}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений^[23], а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств^[24].

Комбинаторика

• Вероятностный метод

• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

${\displaystyle (1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.}$.

• Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

• Теорема Эрдёша — Секереша: всякая последовательность различных вещественных чисел длины ${\displaystyle (a-1)(b-1)+1}$ содержит возрастающую подпоследовательность длины ${\displaystyle a}$ или убывающую длины ${\displaystyle b}$.

Геометрия

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).

Награды

• 1945 — Стипендия Гуггенхайма^[25]
• 1946 — Стипендия Гуггенхайма
• 1951 — Премия Коула по теории чисел
• 1957 — Премия имени Кошута
• 1983 — Государственная премия Венгрии^[венг.]
• 1983/84 — Премия Вольфа по математике
• 1991 — Золотая медаль Венгерской академии наук^[венг.]

См. также

• Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша