Главное расслоение

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой ${\displaystyle G}$ (или ${\displaystyle G}$-главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение ${\displaystyle \pi :P\to X}$, снабжённое непрерывным правым действием группы ${\displaystyle P\times G\to P}$, сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен ${\displaystyle G}$, а база ${\displaystyle X}$ — множеству орбит ${\displaystyle P/G}$.

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным ${\displaystyle G}$-главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой ${\displaystyle F}$. Точнее, пусть ${\displaystyle \pi :P\to X}$ — главное расслоение, ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Homeo} (F)}$ — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве ${\displaystyle F}$. Определим правое действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle P\times F}$:

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

Рассмотрим факторпространство ${\displaystyle A=(P\times F)/G}$ и определим проекцию ${\displaystyle \pi _{A}([p,f])=\pi (p)}$. Тогда ${\displaystyle \pi _{A}:A\to X}$ — локально тривиальное расслоение со структурной группой ${\displaystyle G}$, называемое ассоциированным с ${\displaystyle P}$.

В теории калибровочных полей связности Эресманна^[англ.] на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

• Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно ${\displaystyle P\times G}$) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение ${\displaystyle \sigma :X\to P}$.

Примеры

• Расслоение реперов ${\displaystyle FM}$ многообразия ${\displaystyle M}$, имеющее структурную группу ${\displaystyle \mathrm {GL} (\dim M)}$.
• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Ли, ${\displaystyle H}$ — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой ${\displaystyle G/H}$, структурной группой ${\displaystyle H}$ и проекцией ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$.
• Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой ${\displaystyle S^{2}}$, структурной группой ${\displaystyle \mathrm {U} (1)\simeq S^{1}}$ и тотальным пространством ${\displaystyle S^{3}}$.
• Регулярное накрытие ${\displaystyle p:C\to X}$ является главным расслоением со структурной группой ${\displaystyle \pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$, действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle X}$ является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$.

Литература

• Bleecker, David. Gauge Theory and Variational Principles. — Addison-Wesley Publishing, 1981. — ISBN 0-486-44546-1.
• Jost, Jürgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — (4th ed.). — New York : Springer, 2005. — ISBN 3-540-25907-4.
• Husemoller, Dale. Fibre Bundles. — Third. — New York : Springer, 1994. — ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
• Steenrod, Norman. The Topology of Fibre Bundles. — Princeton : Princeton University Press, 1951. — ISBN 0-691-00548-6.