Фундаментальная группа

Не следует путать с фундаментальной группой в дифференциальной геометрии.

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства ${\displaystyle X}$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ обычно обозначается ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ или ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$, хотя обозначение ${\displaystyle \pi _{1}(X)=\{1\}}$ более уместно.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Рассмотрим множество петель в ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle x_{0}}$; то есть множество непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$, таких что ${\displaystyle f(0)=x_{0}=f(1)}$. Две петли ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия ${\displaystyle f_{t}}$, удовлетворяющая свойству ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)}$. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются ${\displaystyle [f]}$) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

${\displaystyle (f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}}$

Произведением двух гомотопических классов ${\displaystyle [f]}$ и ${\displaystyle [g]}$ называется гомотопический класс ${\displaystyle [f*g]}$ произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства ${\displaystyle X}$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

Комментарии

• Про ${\displaystyle (X,x_{0})}$ можно думать как о паре пространств ${\displaystyle (X,\{x_{0}\})}$.
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если ${\displaystyle X}$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ вместо ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ канонический изоморфизм между ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(X,y)}$ существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств ${\displaystyle \varphi$ :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))} индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle \varphi _{*}=\pi _{1}\varphi$ :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))} , определяемый формулой ${\displaystyle \varphi _{*}[f]=[\varphi f]}$. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор ${\displaystyle \pi _{1}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Grp} }$.

• Пространство ${\displaystyle X}$ называется односвязным, если оно линейно связно и группа ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0}$. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• В окружности ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• Фундаментальная группа ${\displaystyle n}$-мерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ тривиальна при всех ${\displaystyle n\geq 2}$.

• Фундаментальная группа восьмёрки ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}}$ неабелева — это свободное произведение ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$. Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: ${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

• Фундаментальная группа плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ c ${\displaystyle n}$ выколотыми точками — свободная группа с ${\displaystyle n}$ порождающими.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода ${\displaystyle g}$ может быть задана образующими ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ с единственным соотношением: ${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1}$.

Свойства

Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа. Обратное верно для линейно связных асферических пространств (пространство Эйленберга — Маклейна).

Если ${\displaystyle A}$ — ретракт ${\displaystyle X}$, содержащий отмеченную точку ${\displaystyle x_{0}}$, то гомоморфизм ${\displaystyle i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$, индуцированный вложением ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$, инъективен. В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности ${\displaystyle X}$, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle A}$ — строгий деформационный ретракт ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ является изоморфизмом.

${\displaystyle \pi _{1}}$ сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками ${\displaystyle (X,x_{0})}$ и ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ существует изоморфизм:

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})}$

естественный по ${\displaystyle (X,x_{0})}$ и ${\displaystyle (Y,y_{0})}$.

Теорема ван Кампена: Если ${\displaystyle X}$ — объединение линейно связных открытых множеств ${\displaystyle A_{\alpha }}$, каждое из которых содержит отмеченную точку ${\displaystyle x_{0}\in X}$, и если каждое пересечение ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }}$ линейно связно, то гомоморфизм ${\displaystyle \Phi$ :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)} , индуцированный вложениями ${\displaystyle A_{\alpha }\hookrightarrow X}$, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }}$ линейно связно, то ядро гомоморфизма ${\displaystyle \Phi }$ — это наименьшая нормальная подгруппа ${\displaystyle N}$, содержащая все элементы вида ${\displaystyle i_{\alpha \beta }(\omega )i_{\beta \alpha }(\omega )^{-1}}$ (где ${\displaystyle i_{\alpha \beta }}$ индуцирован вложением ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }}$), а потому ${\displaystyle \Phi }$ индуцирует изоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N}$ (первая теорема об изоморфизме).^[1] В частности, ${\displaystyle \pi _{1}}$ сохраняет копроизведения: ${\displaystyle \pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })}$ естественно по всем ${\displaystyle X_{\alpha }}$. Случай двух ${\displaystyle A_{\alpha }}$: условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что ${\displaystyle \pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}\pi _{1}(A_{2})}$, что является ограниченной (случаем линейно связного ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$) формой сохранения толчков.

Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом^[англ.] пространства ${\displaystyle X}$ называют группоид ${\displaystyle \Pi (X)}$, объектами которого являются точки ${\displaystyle X}$, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatorname {Aut} _{\Pi (X)}x_{0}}$, и если ${\displaystyle X}$ линейно связно, то вложение ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)}$ является эквивалентностью категорий.