Гомологическое многообразие

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой ${\displaystyle G}$ есть локально компактное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ с конечной ${\displaystyle G}$-когомологической размерностью такое, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ группы гомологий

${\displaystyle H_{p}(X,X-x,G)=0}$

при ${\displaystyle p\neq n}$ и

${\displaystyle H_{n}(X,X-x,G)=G.}$

Здесь ${\displaystyle H}$ есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа ${\displaystyle G}$ не уточняется, то считается ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$.

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является ${\displaystyle (n-1)}$-мерным гомологическим многообразием (без границы).

Примеры

• Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
• Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
  • Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.

Свойства

• Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.^[1]
• Если произведение пространств ${\displaystyle X\times Y}$ является топологическим многообразием, то каждое пространство ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ является гомологическим многообразием.