Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}$

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

${\displaystyle b_{k}(M)=b_{n-k}(M).}$

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций^[1][2].

Современная формулировка

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий ${\displaystyle H^{k}(M)}$ в (n − k)-ю группу гомологий ${\displaystyle H_{n-k}(M)}$:

${\displaystyle D:H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$.

Этот изоморфизм двойственности Пуанкаре определяется фундаментальным классом многообразия ${\displaystyle [M]}$:

${\displaystyle D(\alpha )=[M]\frown \alpha }$,

где ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ — коцикл, ${\displaystyle \frown }$ обозначает ${\displaystyle \frown }$-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для ${\displaystyle k<0}$ группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при ${\displaystyle k>n}$ на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через ${\displaystyle \tau H_{k}(M)}$ кручение группы ${\displaystyle H_{k}(M)}$, и ${\displaystyle fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)}$ её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

${\displaystyle fH_{k}(M)\otimes fH_{n-k}(M)\to \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

(Здесь ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ и ${\displaystyle H_{n-k}(M)}$, коэффициент зацепления — между кручениями групп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ и ${\displaystyle H_{n-k-1}(M)}$.

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

${\displaystyle fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-k}(M),\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре ${\displaystyle H_{k}(M)\simeq H^{n-k}(M)}$ и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства ${\displaystyle fH^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-k}(M);\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle \tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-k-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$. Таким образом, группы ${\displaystyle fH_{k}(M)\simeq fH_{n-k}(M)}$ являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, ${\displaystyle \tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)}$.