Гомология (проективная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология.

Гомоло́гия — проективное преобразование проективной плоскости, которое оставляет неподвижными все точки некоторой прямой ${\displaystyle l}$, называемой осью гомологии. Если гомология не является тождественным отображением, то все прямые, проходящие через любую пару различных соответствующих точек, также проходят через некоторую точку ${\displaystyle S}$, являющуюся неподвижной и называемую центром гомологии. Если центр находится на оси гомологии, то она называется параболической, особенной, сдвигом или элацией, если нет, то гиперболической или неособенной. В некоторых книгах гомологией называют только гиперболические гомологии, а сдвиги и тождественное отображение к ней не относят.

Гиперболическая гомология с осью ${\displaystyle I}$ и центром ${\displaystyle S}$. Показано построение точки ${\displaystyle B'}$, соответствующей точке ${\displaystyle B}$, если дана пара соответствующих точек ${\displaystyle A,A'}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ — точка, не являющаяся неподвижной, ${\displaystyle A'}$ — её образ, а ${\displaystyle S}$ — центр гиперболической гомологии. Если ${\displaystyle M}$ — точка пересечения прямой ${\displaystyle AS}$ с осью гомологии, то двойное отношение ${\displaystyle (SM,AA')}$ не зависит от выбора точки ${\displaystyle A}$ и называется модулем или константой гомологии. Гомология с константой, равной −1, называется гармонической и является инволюцией.

Литература

• Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматгиз, 1959
• Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970.
• J. G. Semple, G. T. Kneebone. Algebraic projective geometry. — Oxford University Press, 1952.

Ссылки

• Граве Д. А. Гомологические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.