Инволюция (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Инволюция.

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение

Функция ${\displaystyle f\colon X\to X}$ называется инволюцией, если ${\displaystyle f(f(x))=x}$ для всякого ${\displaystyle x\in X}$.

Свойства

• Любая инволюция — это биекция.

• Композиция ${\displaystyle {f}\circ {g}}$ двух инволюций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: ${\displaystyle {f}\circ {g}=g\circ f}$.

Примеры

• ${\displaystyle f(x)=-x}$, заданная на множестве целых ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, рациональных ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ или вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

  ${\displaystyle {\dfrac {a}{x}}}$, ${\displaystyle a-x}$, ${\displaystyle {\dfrac {x}{x-1}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {x+1}{x-1}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {ax+b}{cx-a}}}$;

• ${\displaystyle f(x)={\bar {x}}}$ — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества ${\displaystyle U}$;
• ${\displaystyle f(x)=\neg x}$ — логическое отрицание булевой алгебры;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра;
• взятие ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства;
• Перестановка ${\displaystyle \tau }$ является инволюцией, если ${\displaystyle \tau \circ \tau =id}$, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)}$.

  • Число инволюций в группе перестановок порядка ${\displaystyle n}$ определяется по формулам:

    ${\displaystyle a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1}$ (рекуррентная формула),

    ${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {n!}{2^{k}\cdot (n-2k)!\cdot k!}}}$,

(первые значения ${\displaystyle a(n)}$: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152^[1]).