Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр

Два́жды противополо́жно наращённый усечённый додека́эдр^[1] — один из многогранников Джонсона (J₆₉, по Залгаллеру — М₆+М₁₂+М₆).

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	52 грани 120 рёбер 70 вершин Χ = 2
Грани	30 треугольников 10 квадратов 2 пятиугольника 10 десятиугольников
Конфигурация вершины	2x10+20(3.102) 10(3.4.5.4) 20(3.4.3.10)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J69, М6+М12+М6
Группа симметрии	D5d

Составлен из 52 граней: 30 правильных треугольников, 10 квадратов, 2 правильных пятиугольников и 10 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена четырьмя десятиугольными и шестью треугольными; каждая пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 10 граней окружены тремя десятиугольными, 10 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 10 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 20 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно наращённого усечённого додекаэдра 70 вершин. В 40 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 20 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 10 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр можно получить из трёх многогранников — усечённого додекаэдра и двух пятискатных куполов (J₅), — приложив куполы к двум противоположным десятиугольным граням усечённого додекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+\left(50+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 103{,}3734243a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 89{,}6877552a^{3}.}$