Правильный пятиугольник

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	${\displaystyle {\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}=}$ ${\displaystyle {\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[англ.], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Свойства

• Угол ${\displaystyle \alpha }$ у правильного пятиугольника (из формулы для всех правильных многоугольников ${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }}$, где n — количество сторон мноугольника):

${\displaystyle \alpha ={\frac {5-2}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}$

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

${\displaystyle S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, ${\displaystyle d}$ — диагональ, ${\displaystyle t}$ — сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

${\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1{,}5388417685876268t}$

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали ${\displaystyle d}$ правильного пятиугольника к стороне ${\displaystyle t}$ равно «золотому сечению», то есть числу ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Сторона:

${\displaystyle t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}1755705045849463~R}$

• Радиус вписанной окружности:

${\displaystyle r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}6881909602355869~t}$

• Радиус описанной окружности:

${\displaystyle R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}85065080835204~t}$

• Диагональ:

${\displaystyle d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}9021130325903073~R\approx 1{,}618033988749895~t}$

• Площадь:

${\displaystyle S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}7204774005889671~t^{2}}$

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

${\displaystyle {\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}854101966249685}$

где ${\displaystyle \Phi }$ — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

• Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.^[1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

• 
  Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией
• 
  Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты

Здание министерства обороны США, известное как Пентагон

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники^[2].
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость^[3].
• Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
• Пентагон — здание министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также

• Золотое сечение
• Пятиугольник
• Пентаэдр
• Пентаграмма
• Государственный знак качества СССР